Gegeben ist die in definierte Funktion
.
Abbildung zeigt den Graphen von .
Berechnen Sie den Wert des Integrals . (2P)
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Nach den Integrationsregeln darf der konstante Faktor vor das Integral gezogen werden
Die Stammfunktion von ist . Somit erhält man:
In die Klammer wird für der obere Wert eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
Beachte und .
Das Integral hat den Wert .
Ermitteln Sie grafisch diejenige Stelle , für die gilt: Die lokale Änderungsrate von an der Stelle stimmt mit der mittleren Änderungsrate von im Intervall überein. (3P)
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Betrachte zunächst die mittlere Änderungsrate von im Intervall .
Die mittlere Änderungsrate im Intervall entspricht der Steigung der Geraden (Sekante) zwischen den Funktionswerten am Intervallanfang und am Intervallende.
In der Abbildung ist diese Sekante durch die Punkte und eingezeichnet.
Betrachte nun die lokale Änderungsrate für die Funktion an einer Stelle .
Die lokale Änderungsrate von ist die Steigung der Tangente, die den Graphen an der Stelle berührt.
Diese lokale Änderungsrate soll mit der Steigung der Sekante übereinstimmen.
Verschiebe also die Sekante solange parallel, bis sie nur noch einen Punkt mit gemeinsam hat. Die Sekante ist zur Tangente geworden.
Die Stelle , für die gilt, dass die lokale Änderungsrate von an dieser Stelle mit der mittleren Änderungsrate von im Intervall übereinstimmt, ist .