Löse folgende Aufgaben.
Gegeben ist die Funktion mit maximaler Definitionsmenge .
Geben Sie und die Nullstellen von an. (2P)
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Definitionsbereich:
Der Funktionsterm ist ein Quotient. Bei einem Quotienten darf der Nenner nicht null werden.
Setze daher den Nenner der Funktion gleich 0, um die Definitionslücke zu bestimmen:
muss aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden .
Nullstellen:
Setze den Zähler der Funktion gleich 0.
Klammere aus.
Ein Produkt ist genau dann gleich null, wenn wenigstens einer der Faktoren gleich null wird.
Die Funktion hat die beiden Nullstellen und .
Geben Sie den Term einer gebrochen-rationalen Funktion an, die die folgenden Eigenschaften hat: Die Funktion ist in definiert; ihr Graph besitzt die Gerade mit der Gleichung als waagrechte Asymptote und schneidet die y-Achse in Punkt . (3P)
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Es gibt viele mögliche Lösungen. Beachte die drei Bedingungen:
- in definiert, also keine Definitionslücke
- waagrechte Asymptote bei , also
- geht durch , also
Die Funktion soll auf ganz definiert sein, d.h. es gibt keine Definitionslücken. Wähle deshalb einen Nenner, der für alle ungleich 0 ist.
Hier kommen zum Beispiel Funktionen der Art (, n gerade) infrage.
Wähle z.B. den Nenner .
Die Funktion hat den Definitionsbereich . Somit ist die erste Bedingung für die gesuchte Funktion erfüllt.
Aktuell gilt:
Da die Funktion aber die Asymptote haben soll, muss zu dem bisherigen Funktionsterm addiert werden.
Nun gilt: , also .
Somit ist auch die zweite Bedingung für die gesuchte Funktion erfüllt.
Die Funktion schneidet die y-Achse im Punkt .
.
Die Funktion erfüllt damit alle drei Bedingungen.
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Eventuell kann der Funktionsterm noch in eine unecht gebrochen-rationale Funktion umgewandelt werden, indem die Summe berechnet wird.