/mathe/245368/aufgabengruppe

Die Ebene wird an der Ebene gespiegelt.

Für die rechte Seite der gespiegelten Ebene in Koordinatenform gilt die Gleichung:

Lies aus der Ebenengleichung ab:

Lies aus der Ebenengleichung ab:

Setze und in Gleichung ein:

Antwort: Die Gleichung der Spiegelebene lautet:

zusätzliche grafische Darstellung

Die Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht verlangt worden.

Sie dient nur der Veranschaulichung.

1. Die Schnittgerade ist gegeben: .

2. Finde einen Punkt auf der Ebene . Der Punkt darf nicht auf der Schnittgeraden liegen.

Setze z. B. und und berechne :

Liegt auf ? Setze in die Geradengleichung ein:

Aus der ersten Zeile folgt und aus der zweiten Zeile folgt . Das ist ein Widerspruch. Somit liegt nicht auf

3. Wird ein Punkt der Ebene an der Ebene gespiegelt, so liegen der Punkt und der Spiegelpunkt auf einer Geraden, die senkrecht auf der Ebene steht. Diese Gerade ist die Lotgerade . Sie wird benötigt, um den Lotfußpunkt auf der Ebene zu berechnen.

Erstelle nun eine Lotgerade mit dem gefundenen Punkt als Aufpunkt und dem Normalenvektor der Ebene :

4. Schneide die Lotgerade mit der Ebene , um den Lotfußpunkt zu erhalten.

Setze in die Lotgerade ein, um den Punkt zu berechnen.

5. Für den Spiegelpunkt gilt immer die Gleichung

Berechne zunächst den Vektor :

6. Setze dann und in die Vektorgleichung ein:

Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten .

7. Der berechnete Punkt ist ein Punkt der Spiegelebene . Erstelle eine Parameterform für die Spiegelebene mit der Schnittgeraden und einem weiteren Richtungsvektor ( ist der Aufpunkt der Schnittgeraden)

.

Berechne den zweiten Richtungsvektor:

Die Spiegelebene kann dann als Parametergleichung geschrieben werden:

zusätzliche grafische Darstellung

Die Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht verlangt worden.

Sie dient nur der Veranschaulichung.