Spiegele die Gerade an der Geraden .
und . Die Gerade ist (echt) parallel zur Geraden .
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Lösung der Aufgabe mit Hilfsebene H
1. Erstelle die Gleichung einer Hilfsebene mit dem Aufpunkt der Geraden und dem Richtungsvektor der Geraden als Normalenvektor:
2. Schneide mit :
Setze ein.
Berechne die Vektordifferenz in der Klammer.
Fasse zusammen
Berechne das Skalarprodukt.
Löse die Klammern auf.
Löse nach auf.
Umformung: -3
Umformung: :6
Kürze
Setze in die Geradengleichung ein, um den Punkt zu berechnen.
3. Berechne den Vektor
4. Setze und in die Vektorgleichung ein:
Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten .
5. Setze in den Spiegelpunkt und den Richtungsvektor der Geraden ein.
Antwort: Die Gleichung der Spiegelgeraden lautet:
zusätzliche grafische Darstellung
Die Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht verlangt worden.
Sie dient nur der Veranschaulichung.
Lösung der Aufgabe mit Lotfußpunkt F
1. Nimm den Aufpunkt der Geraden und spiegele den Punkt an der Geraden .
2. Schreibe einen allgemeinen Vektor für einen Punkt auf der Geraden :
3. Bilde den Vektor .
.
4. Berechne das Skalarprodukt: .
Löse die Klammern auf.
Fasse zusammen.
Umformung: -3
Löse nach auf.
Umformung: :6
Kürze.
5. Setze in ein:
Berechne den Spiegelpunkt mithilfe der Gleichung:
Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten: .
6. Der berechnete Spiegelpunkt ist der Aufpunkt der Spiegelgeraden . Für den Richtungsvektor der Spiegelgeraden nimmt man den Richtungsvektor der Geraden . Somit ergibt sich für die Gleichung der Spiegelgeraden:
Alternative schnelle Berechnung für parallele Geraden
Du weißt, dass die gespiegelte Gerade wegen der Parallelität dieselbe Richtung wie die beiden Geraden hat. Daher kannst du einfach einen der Richtungsvektoren benutzen.
Nun brauchst du noch einen Punkt der gespiegelten Geraden. Spiegele dazu wie im Artikel über Punktspiegelung beschrieben den Aufpunkt von am Aufpunkt von :
an spiegeln:
Berechne
Für den gespiegelten Punkt gilt:
.
Damit ist .
Anmerkung: Die hier berechnete Gleichung der Spiegelgeraden ist identisch mit der oben berechneten Gleichung
und . Die Geraden schneiden sich im Punkt .
Lösung anzeigen
1. Erstelle die Gleichung einer Hilfsebene mit dem Aufpunkt der Geraden und dem Richtungsvektor der Geraden als Normalenvektor:
2. Schneide mit :
Setze ein.
Berechne die Vektordifferenz in der Klammer.
Fasse zusammen.
Berechne das Skalarprodukt.
Löse die Klammern auf.
Fasse zusammen.
Umformung: +3
Löse nach auf.
Umformung: :2
Setze in die Geradengleichung ein, um den Punkt zu berechnen.
3. Berechne den Vektor
4. Setze und in die Vektorgleichung ein:
Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten .
5. Berechne den Vektor
Der berechnete Punkt ist der Aufpunkt der Spiegelgeraden . Die Spiegelgerade hat den Richtungsvektor (mit dem gegebenen Geradenschnittpunkt ):
Setze in den Spiegelpunkt und den Richtungsvektor ein.
Antwort: Die Gleichung der Spiegelgeraden lautet .
zusätzliche grafische Darstellung
Die Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht verlangt worden.
Sie dient nur der Veranschaulichung.
