Der Artikel beschreibt die Spiegelung einer Ebene an einer Ebene .
Es werden zwei verschiedene Berechnungsmethoden beschrieben.
Berechnungsmethode 1
Es werden zwei Fälle untersucht:
1. Fall: Die beiden Ebenen sind (echt) parallel zueinander.
2. Fall: Die beiden Ebenen schneiden sich in einer Geraden . Die Berechnung der gespiegelten Ebene ' erfolgt mit einer Lotgeraden .
Berechnungsmethode 2
Bestimme von der Ebene drei nicht kollineare Punkte und . Berechne nacheinander die drei an der Ebene gespiegelten Punkte und . Erstelle dann mit diesen drei Spiegelpunkten eine Parameterform der Spiegelebene .
Berechnungsmethode 1 Fall 1:
Vorgehensweise
Gegeben sind zwei (echt) parallele Ebenen in Koordinatenform:
und .
Die Ebene wird an der Ebene gespiegelt
Wie wird berechnet?
Setzt man den Koordinatenursprung in die Hessesche Normalenform der Ebene ein, so erhält man den Abstand der Ebene vom Ursprung.
Entsprechend für die Ebene :
Für den Abstand der Spiegelebene vom Koordinatenursprung gilt:
Da gilt:
Für der Spiegelebene ergibt sich somit die Gleichung:
Beispiel zu Fall 1
Gegeben sind die beiden (echt) parallelen Ebenen
und .
Die Ebene wird an der Ebene gespiegelt.
Setze und ein:
Antwort: Die Gleichung der Spiegelebene lautet:
Grafische Darstellung der 3 parallelen Ebenen für das Beispiel zu Fall 1
Eine andere Berechnung der Spiegelebene
Berechnung der gespiegelten Ebene ' mit einer Lotgeraden
1. Finde einen Punkt auf der Ebene .
2. Erstelle eine Lotgerade mit dem gefundenen Punkt als Aufpunkt und dem Normalenvektor der Ebene :
3. Schneide die Lotgerade mit der Ebene . Du erhältst den Fußpunkt .
4. Berechne den Vektor
5. Zur Berechnung des Spiegelpunktes setze und in die Vektorgleichung ein.
6. Der berechnete Punkt ist ein Punkt der Spiegelebene . Erstelle eine Normalenform für die Spiegelebene mit dem Punkt und dem Normalenvektor .
Beispiel zu Fall 1
Gegeben sind die beiden (echt) parallelen Ebenen
und .
Die Ebene wird an der Ebene gespiegelt.
1. Finde einen Punkt auf der Ebene .
Wähle z.B. und und setze die beiden Werte in ein:
Setze und ein.
Umformung: +1
Umformung: :2
Der Punkt hat somit die Koordinaten .
2. Erstelle eine Lotgerade mit dem gefundenen Punkt als Aufpunkt und dem Normalenvektor der Ebene :
3. Schneide die Lotgerade mit der Ebene .
Setze die Lotgerade in ein.
Löse die Klammern auf.
Fasse zusammen und löse nach auf.
Umformung: +3
Umformung: :30
Setze in die Lotgerade ein, um den Punkt zu berechnen.
4. Berechne den Vektor
5. Setze und in die Vektorgleichung ein:
Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten .
6. Der berechnete Punkt ist ein Punkt der Spiegelebene . Erstelle eine Normalenform für die Spiegelebene mit dem Punkt und dem Normalenvektor :
Antwort: Die Gleichung der Spiegelebene E' lautet:
oder als Koordinatenform:
Anmerkung: Die obige Abbildung zeigt das berechnete Beispiel im 1. Fall.
Berechnungsmethode 1 Fall 2:
Gegeben sind zwei Ebenen in Koordinatenform und
. Die beiden Ebenen schneiden sich in der Schnittgeraden . Die Ebene wird an der Ebene gespiegelt.
Vorgehensweise
Berechnung der gespiegelten Ebene ' mit einer Lotgeraden
1. Die Schnittgerade ist gegeben: oder muss berechnet werden.
2. Finde einen Punkt auf der Ebene . Der Punkt darf nicht auf der Schnittgeraden liegen.
3. Erstelle eine Lotgerade mit dem gefundenen Punkt als Aufpunkt und dem Normalenvektor der Ebene :
4. Schneide die Lotgerade mit der Ebene . Du erhältst den Fußpunkt .
5. Berechne den Vektor
6. Zur Berechnung des Spiegelpunktes setze und in die Vektorgleichung ein.
7. Der berechnete Punkt ist ein Punkt der Spiegelebene . Erstelle eine Parameterform für die Spiegelebene mit der Schnittgeraden und einem weiteren Richtungsvektor ( ist der Aufpunkt der Schnittgeraden) .
Beispiel zu Fall 2
Gegeben sind die beiden Ebenen und . Die Gleichung der Schnittgeraden lautet:
Die Ebene wird an der Ebene gespiegelt.
Berechnung der Schnittgeraden, für den Fall, dass sie nicht gegeben ist.
Beseitige z.B. die Variable , indem du rechnest (
Löse die erhaltene Gleichung nach auf
ist frei wählbar, setze also
Setze nun und z.B. in Gleichung ein und löse nach auf:
Setze und ein.
Löse die Klammer auf und fasse zusammen.
Umformung: -9+4r
Umformung: \cdot(-1)
Schreibe die Gleichungen untereinander:
Die Schnittgerade der beiden Ebenen hat die Gleichung .
1. Die Schnittgerade ist gegeben: .
2. Finde einen Punkt auf der Ebene . Der Punkt darf nicht auf der Schnittgeraden liegen.
Wähle z.B. . ?
Liegt auf ? Setze in die Geradengleichung ein:
Aus der ersten Zeile folgt und aus der zweiten Zeile folgt . Somit liegt nicht auf
3. Erstelle eine Lotgerade mit dem gefundenen Punkt als Aufpunkt und dem Normalenvektor der Ebene :
4. Schneide die Lotgerade mit der Ebene .
Setze die Lotgerade in ein.
Löse die Klammern auf.
Fasse zusammen und löse nach auf.
Umformung: -8
Umformung: :30
Setze in die Lotgerade ein, um den Punkt zu berechnen.
5. Berechne den Vektor
6. Setze und in die Vektorgleichung ein:
Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten .
7. Der berechnete Punkt ist ein Punkt der Spiegelebene . Erstelle eine Parameterform für die Spiegelebene mit der Schnittgeraden und einem weiteren Richtungsvektor ( ist der Aufpunkt der Schnittgeraden) .
Berechne den zweiten Richtungsvektor:
Die Spiegelebene kann dann als Parametergleichung geschrieben werden:
oder umgewandelt in eine Koordinatenform:
Anmerkung: Die obige Abbildung zeigt das berechnete Beispiel im 2. Fall.