Der Artikel beschreibt die Spiegelung einer Geraden an einer Geraden .
Es werden zwei verschiedene Berechnungsmöglichkeiten vorgestellt.
1. Berechnung mit dem Lotfußpunkt
2 Berechnung mit einer Hilfsebene
Berechnungsmöglichkeit 1 mit Lotfußpunkt
Gegeben sind zwei Geraden und .
Die Gerade wird an der Geraden gespiegelt.
Vorgehensweise
1. Ermittle je nach Lagebeziehung zwischen den beiden Geraden entweder von einem Punkt auf der Geraden oder von 2 Punkten auf der Geraden die Koordinaten der Punkte und . Spiegele dann den Punkt an der Geraden und gegebenenfalls auch den Punkt .
2. Schreibe einen allgemeinen Vektor für einen Punkt auf der Geraden :
3. Bilde den Vektor .
4. Der Vektor muss senkrecht auf der Geraden stehen, d.h. das Skalarprodukt ist gleich null: . Diese Gleichung liefert für den Parameter einen Wert .
5. Setze in ein und berechne den Spiegelpunkt mithilfe der Gleichung:
oder
6. Verfahre gegebenenfalls für den zweiten Punkt entsprechend und berechne den Spiegelpunkt .
Beispiel zu Berechnungsmöglichkeit 1
Gegeben sind die beiden (echt) parallelen Geraden und . Die Gerade wird an der Geraden gespiegelt.
1. Benutze den Aufpunkt der Geraden : .
(Da die beiden Geraden parallel zueinander sind, genügt es diesen Punkt zu spiegeln.)
Spiegele den Punkt an der Geraden .
2. Schreibe einen allgemeinen Vektor für einen Punkt auf der Geraden :
3. Bilde den Vektor .
.
4. Berechne das Skalarprodukt: .
Löse die Klammern auf.
Fasse zusammen.
Umformung: -4
Umformung: :12
Kürze.
5. Setze in ein:
Berechne den Spiegelpunkt mithilfe der Gleichung:
Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten: .
6. Der berechnete Spiegelpunkt ist der Aufpunkt der Spiegelgeraden . Für den Richtungsvektor der Spiegelgeraden nimmt man den Richtungsvektor der Geraden . Somit ergibt sich für die Gleichung der Spiegelgeraden:
Alternative schnelle Berechnung für parallele Geraden
Du weißt, dass die gespiegelte Gerade wegen der Parallelität dieselbe Richtung wie die beiden Geraden hat. Daher kannst du einfach einen der Richtungsvektoren benutzen.
Nun brauchst du noch einen Punkt der gespiegelten Geraden. Spiegele dazu wie im Artikel über Punktspiegelung beschrieben den Aufpunkt von am Aufpunkt von :
an spiegeln:
Berechne
Für den gespiegelten Punkt gilt:
.
Damit ist .
Anmerkung: Die hier berechnete Gleichung der Spiegelgeraden ist identisch mit der oben berechneten Gleichung
Berechnung für sich schneidende Geraden und windschiefe Geraden
1. Im Fall sich schneidender Geraden und muss ein beliebiger Punkt der Geraden an der Geraden gespiegelt werden. Der gespiegelte Punkt und der Schnittpunkt , der bei der Spiegelung erhalten bleibt, sind zwei Punkte, die auf der gespiegelten Geraden liegen. Mit diesen beiden Punkten kann die Geradengleichung erstellt werden:
2. Im Fall windschiefer Geraden und müssen jeweils zwei Punkte und der Geraden ermittelt und an der Geraden gespiegelt werden. Mit diesen beiden Spiegelpunkten und kann die Geradengleichung erstellt werden:
Berechnungsmöglichkeit 2 mit einer Hilfsebene H
Hier werden zwei Fälle unterschieden:
Fall 1: Die beiden Geraden sind (echt) parallel zueinander
Fall 2: Die beiden Geraden schneiden sich in einem Punkt .
(Der Fall windschiefer Geraden wird als Sonderfall in einem Spoiler am Artikelende behandelt.)
1. Fall:
Gegeben sind zwei (echt) parallele Geraden und .
Die Gerade wird an der Geraden gespiegelt.
Vorgehensweise
Berechnung der gespiegelten Geraden g' mit einer Hilfsebene
1. Erstelle eine Hilfsebene in Normalenform
Verwende dabei für den Aufpunkt der Geraden und setze für den Normalenvektor den Richtungsvektor der Geraden ein.
2. Schneide die Gerade mit der Hilfsebene . Du erhältst den Fußpunkt .
3. Berechne den Vektor
4. Zur Berechnung des Spiegelpunktes setze und in die Vektorgleichung ein.
5. Der berechnete Punkt ist der Aufpunkt der Spiegelgeraden g'. Die Spiegelgerade hat den Richtungsvektor (parallele Gerade zu und )
Beispiel zu Fall 1
Gegeben sind die beiden (echt) parallelen Geraden und . Die Gerade wird an der Geraden gespiegelt.
1. Erstelle die Gleichung einer Hilfsebene mit dem Aufpunkt der Geraden und dem Richtungsvektor der Geraden als Normalenvektor:
2. Schneide mit :
Setze in ein.
Berechne die Vektordifferenz in der Klammer.
Fasse zusammen.
Berechne das Skalarprodukt.
Löse die Klammern auf.
Löse nach auf.
Umformung: -4
Umformung: :12
Kürze
Setze in die Geradengleichung ein, um den Punkt zu berechnen.
3. Berechne den Vektor
4. Setze und in die Vektorgleichung ein:
Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten .
5. Setze in den Spiegelpunkt und den Richtungsvektor der Geraden ein.
Antwort: Die Gleichung der Spiegelgeraden lautet:
Anmerkung: Die obige Darstellung zeigt das berechnete Beispiel im 1. Fall.
2. Fall:
Gegeben sind zwei sich im Punkt schneidende Geraden und . Die Gerade wird an der Geraden gespiegelt.
Vorgehensweise
Berechnung der gespiegelten Geraden g' mit einer Hilfsebene
1. Erstelle eine Hilfsebene in Normalenform
Verwende dabei für den Aufpunkt der Geraden und setze für den Normalenvektor den Richtungsvektor der Geraden ein.
2. Schneide die Gerade mit der Hilfsebene . Du erhältst den Fußpunkt .
3. Berechne den Vektor
4. Zur Berechnung des Spiegelpunktes setze und in die Vektorgleichung ein.
5. Der berechnete Punkt ist der Aufpunkt der Spiegelgeraden . Die Spiegelgerade hat den Richtungsvektor (mit dem gegebenen Geradenschnittpunkt ):
Beispiel zu Fall 2
Gegeben sind die Gerade , die Gerade und der Schnittpunkt der beiden Geraden .
1. Erstelle die Gleichung einer Hilfsebene mit dem Aufpunkt der Geraden und dem Richtungsvektor der Geraden als Normalenvektor:
2. Schneide mit :
Setze in ein.
Berechne die Vektordifferenz in der Klammer.
Fasse zusammen.
Berechne das Skalarprodukt.
Löse die Klammern auf.
Löse nach auf.
Umformung: -6
Umformung: :12
Kürze
Setze in die Geradengleichung ein, um den Punkt zu berechnen.
3. Berechne den Vektor
4. Setze und in die Vektorgleichung ein:
Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten .
5. Berechne den Vektor
Der berechnete Punkt ist der Aufpunkt der Spiegelgeraden . Die Spiegelgerade hat den Richtungsvektor (mit dem gegebenen Geradenschnittpunkt ):
Setze in den Spiegelpunkt und den Richtungsvektor ein.
Antwort: Die Gleichung der Spiegelgeraden lautet bzw.
.
Anmerkung: Die obige Darstellung zeigt das berechnete Beispiel im 2. Fall.
Sonderfall: windschiefe Geraden
Bei der Spiegelung zweier windschiefer Geraden und wird ein Punkt der Geraden mithilfe einer Hilfsebene an der Geraden gespiegelt. Man erhält der Spiegelpunkt . Ein zweiter Punkt der Geraden wird mithilfe einer Hilfsebene an der Geraden gespiegelt. Man erhält der Spiegelpunkt . Mit diesen beiden Spiegelpunkten und kann die Geradengleichung erstellt werden:
