Für jedes ist die Funktionenschar gegeben durch .
Der Graph der Funktion ist .
Gib bei allen Teilaufgaben die Ergebnisse in Abhängigkeit vom Scharparameter an.
Wo schneiden die Scharkurven die -Achse?
Lösung anzeigen
Die -Achse wird für geschnitten.
Setze in die Funktionsgleichung ein:
Antwort: Die y-Achse wird im Punkt geschnitten.
Welche Scharkurve schneidet die -Achse im Punkt ?
Lösung anzeigen
Setze den Punkt in ein:
Umformung: \cdot a
Umformung: -5,2a
Löse mit der pq-Formel.
Setze und ein.
Vereinfache.
Antwort: Die Scharkurven und schneiden die -Achse im Punkt
Untersuche auf Hoch- und Tiefpunkte.
Lösung anzeigen
Die notwendige Bedingung für ein Extremum lautet:
Berechne die 1. Ableitung, beachte dabei die Kettenregel:
Setze
Umformung: +a\cdot e^{-x}
Umformung: :a
Umformung: \ln
Löse nach auf.
Umformung: \cdot(-1)
Wende ein Logarithmusgesetz an.
.
Die Feststellung, ob sich an der Stelle ein Extremum befindet, kann mit einer Monotonietabelle oder der 2. Ableitung erfolgen. Hier erfolgt die Überprüfung mit der 2. Ableitung:
Ist , dann hat die Scharkurve an der Stelle einen Tiefpunkt.
Ist , dann hat die Scharkurve an der Stelle einen Hochpunkt.
Berechne die 2. Ableitung, beachte dabei wieder die Kettenregel:
Setze in ein, um zu prüfen, ob es ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt ist:
. Damit handelt es sich um einen Tiefpunkt.
Berechne den -Wert des Tiefpunktes, indem du in einsetzt:
.
Der Tiefpunkt hat die Koordinaten .
Es gibt nur für Tiefpunkte, da der nur für definiert ist.
Welche Scharkurve hat für die Steigung ?
Lösung anzeigen
Die Steigung für soll sein.
Setze in ein:
Setze
Antwort: Die Scharkurve hat bei die Steigung .
Bestimme das Verhalten der Funktion für und für .
Lösung anzeigen
Betrachte zunächst . Wie verhält sich der Ausdruck , wenn sehr groß wird? Das Verhalten hängt vom Vorzeichen des Scharparameters ab, d.h. es ist eine Fallunterscheidung bzgl. des Vorzeichens von erforderlich.
Fallunterscheidung
Fall 1:
ist eine schiefe Asymptote (im Weiteren abgekürzt mit )
Fall 2:
ist eine schiefe Asymptote.
Alle Scharkurven haben bei eine schiefe Asymptote .
Skizziere für und die Graphen von und von .
Lösung anzeigen
Für lautet und für ist .
Bekannt sind weiterhin der Schnittpunkt mit der y-Achse , der Tiefpunkt und die schiefe Asymptote .
Zum Skizzieren der beiden Graphen ist es sinnvoll, noch einige Funktionswerte zu berechnen. Sie sind in den beiden folgenden Tabellen aufgelistet.
Tabelle für
x | besonderer Punkt | |
|---|---|---|
-1 | -4,72 | |
-0,5 | -3,15 | |
0 | -2 | |
0,5 | -1,11 | |
1 | -0,37 | |
2 | 0,86 | |
3 | 1,95 | |
4 | 2,98 |
Die Funktion hat die schiefe Asymptote .
Tabelle für
x | besonderer Punkt | |
|---|---|---|
-2 | 6,39 | |
-1 | 2,72 | |
0 | 2 | und TP |
0,5 | 2,11 | |
1 | 2,37 | |
2 | 3,14 | |
3 | 4,04 | |
4 | 5,02 |
Die Funktion hat die schiefe Asymptote .
Graphen von und von .
Auf welcher Ortskurve liegen die Extrema?
Lösung anzeigen
Für die Ortskurve der Tiefpunkte benötigst du die Tiefpunktkoordinaten:
.
Für die Berechnung der Ortskurve setzt du und .
Löse dann nach auf .
Setze in ein:
Antwort: Die Gleichung der Ortskurve lautet .
Zur Veranschaulichung sind im folgenden Applet mehrere Scharkurven und die Ortskurve der Tiefpunkte dargestellt.
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
Anmerkung: Die Scharkurve und die Ortskurve sind identisch.