- Eine komplexe Zahl kannst du in Polarform umschreiben zu:
- Anschaulich ist in der Gaußschen Zahlenebene der Abstand der komplexen Zahl vom Ursprung und der Winkel, den die Linie mit der -Achse einschließt.
In der Gaußschen Zahlenebene haben wir eine komplexe Zahl durch ihren Realteil und ihren Imaginärteil in ein Koordinatensystem eingetragen.
Statt und können wir eine komplexe Zahl aber auch durch ihren Abstand vom Ursprung und dem Winkel zur -Achse charakterisieren.
Aus der Abbildung können wir jetzt mit Sinus und Cosinus und berechnen:
Diese Gleichungen für und setzen wir jetzt in die kartesische, also die normale Darstellung der komplexen Zahl ein:
Das ist die Darstellung einer komplexen Zahl in den Polarkoordinaten.
Transformationen zu anderen Darstellungsformen
Umrechnung von Polarform in kartesische Form
Wenn und bekannt sind, kannst du und so berechnen:
Dann kannst du und in einsetzen, um die kartesische Form zu erhalten.
Umrechnung von kartesischer Form in Polarform
Du hast die Darstellung gegeben. und kannst du daraus ablesen. Wir wollen nun den Betrag und das Argument berechnen.
Für kannst du die Formel für den Betrag einer komplexen Zahl verwenden:
Aus der Abbildung oben kannst du ablesen, dass gilt. Also ist:
Weil der Tangens periodisch ist, liefert er zwei mögliche Werte für :
- Einmal den Wert, den du mit der obigen Formel berechnen kannst
- und zum anderen den Wert
Um herauszufinden, welcher -Wert der gesuchte ist, kannst du beide Werte in die Formeln und einsetzen und überprüfen, wo das Richtige herauskommt. Eine Probe ist also in diesem Fall unabdinglich!