Neben den üblichen kartesischen Koordinaten ("-/-Koordinate") kann man jeden Punkt einer Ebene auch mit Polarkoordinaten beschreiben.
Denn jeder Punkt ist durch die Angabe folgender zwei Werte eindeutig festgelegt:
- Entfernung des Punktes vom Koordinatenursprung
- Winkel zwischen der positiven x-Achse und der Strecke
Das Paar nennt man Polarkoordinaten.
Umrechnung
a) Polarkoordinaten kartesische Koordinaten
Man hat einen Punkt in Polarkoordinaten, also , gegeben und möchte seine kartesischen Koordinaten berechnen.
Wendet man im rechtwinkligen Dreieck die Definition des Kosinus bzw. Sinus an, so ergibt sich
bzw. .
Multipliziert man beide Gleichungen jeweils mit , so ergibt sich:
Beispiel
Der Punkt P hat die Polarkoordinaten . Mit den obigen Formeln können seine kartesischen Koordinaten berechnet werden:
Der Punkt P hat somit als kartesische Koordinaten.
b) Kartesische Koordinaten Polarkoordinaten
Man hat einen Punkt in kartesischen Koordinaten, also , gegeben und möchte seine Polarkoordinaten berechnen.
Wendet man im rechtwinkligen Dreieck den Satz des Pythagoras an und zieht anschließend die Wurzel, so erhält man:
Wendet man im selben Dreieck die Definition des Tangens und anschließend die inverse Funktion an, so erhält man:
Die letzte Beziehung ist allerdings nicht allgemeingültig, sondern muss ggf. noch modifiziert werden. Denn je nachdem, in welchem Quadranten der Punkt liegt, ergeben sich unterschiedliche Vorzeichen für bzw. . Daher ist die folgende Fallunterscheidung nötig:
Da die Gleichung außerdem für nicht definiert ist (-Koordinate im Nenner), muss dieser Fall gesondert betrachtet werden:
Beispielaufgabe
Der Punkt P hat die kartesischen Koordinaten . Mit den obigen Formeln können seine Polarkoordinaten berechnet werden:
Da ist, muss für die Berechnung von die modifizierte Formel benutzt werden:
Der Punkt P hat somit als Polarkoordinaten.