In der analytischen Geometrie wird eine Ebene im Raum durch eine Vektorgleichung dargestellt.
Für diese Vektorgleichung gibt es mehrere Darstellungsmöglichkeiten (Parameterform, Normalenform, Koordinatenform).
Wann liegt ein Punkt in einer Ebene ?
Je nach Ebenenform ergeben sich unterschiedliche Lösungswege.
Ebenenformen
1. Parameterform
Die Ebenengleichung ist in der folgenden Form gegeben:
Dabei ist der Aufpunkt und und sind die Richtungsvektoren der Ebene.
Führe eine Punktprobe durch:
Setze für den Vektor ein:
Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.
Hat das Gleichungssystem eine Lösung, dann liegt der Punkt in der Ebene. Hat das Gleichungssystem keine Lösung, dann liegt der Punkt nicht in der Ebene.
Beispiel Punkt liegt in der Ebene (Parameterform)
Gegeben sind die Parameterform der Ebenengleichung und der Punkt :
und
Führe eine Punktprobe durch:
Setze für den Vektor ein:
Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.
Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.
Rechne z.B.
Aus Gleichung folgt:
Probe in Gleichung
Du hast bei der Lösung des Gleichungssystems die Werte und erhalten.
Ergebnis: Das Gleichungssystem hat eine Lösung, d.h. der Punkt liegt in der Ebene .
Beispiel Punkt liegt nicht in der Ebene (Parameterform)
Gegeben sind die Parameterform der Ebenengleichung und der Punkt :
und . Führe eine Punktprobe durch. Setze für den Vektor ein:
Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.
Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.
Rechne z.B.
Aus Gleichung folgt:
Probe in Gleichung
Damit hat das Gleichungssystem keine Lösung.
Ergebnis: Der Punkt liegt nicht in der Ebene .
2. Normalenform
Die Ebenengleichung ist in der folgenden Form gegeben:
Führe eine Punktprobe durch:
Setze für den Vektor ein:
Berechne die Vektordifferenz und dann das Skalarprodukt.
Ist das Skalarprodukt gleich , dann liegt der Punkt in der Ebene . Ist das Skalarprodukt ungleich , dann liegt der Punkt nicht in der Ebene .
Beispiel Punkt liegt in der Ebene (Normalenform)
Gegeben sind die Normalenform der Ebenengleichung und der Punkt :
und . Führe eine Punktprobe durch. Setze für den Vektor ein:
Berechne die Vektordifferenz:
Berechne das Skalarprodukt:
Ergebnis: Das Skalarprodukt ist gleich , d.h. der Punkt liegt in der Ebene .
Beispiel Punkt liegt nicht in der Ebene (Normalenform)
Gegeben sind die Normalenform der Ebenengleichung und der Punkt :
und
Führe eine Punktprobe durch. Setze für den Vektor ein:
Berechne die Vektordifferenz:
Berechne das Skalarprodukt:
Ergebnis: Das Skalarprodukt ist ungleich , d.h. der Punkt liegt nicht in der Ebene .
3. Koordinatenform
Die Ebenengleichung ist in der folgenden Form gegeben:
Führe eine Punktprobe durch. Setze die Koordinaten des Punktes in die Koordinatengleichung ein:
Ergibt sich eine wahre Aussage, dann liegt der Punkt in der Ebene .
Ergibt sich eine falsche Aussage, dann liegt der Punkt nicht in der Ebene .
Beispiel Punkt liegt in der Ebene (Koordinatenform)
Gegeben sind die Koordinatenform der Ebenengleichung und der Punkt :
und
Führe eine Punktprobe durch:
Setze die Koordinaten des Punktes in die Koordinatengleichung ein.
Du hast eine wahre Aussage erhalten, d.h. der Punkt liegt in der Ebene .
Beispiel Punkt liegt nicht in der Ebene (Koordinatenform)
Gegeben sind die Koordinatenform der Ebenengleichung und der Punkt :
und
Führe eine Punktprobe durch. Setze die Koordinaten des Punktes in die Koordinatengleichung ein.
Du hast eine falsche Aussage erhalten, d.h. der Punkt liegt nicht in der Ebene .
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