Aufgabe A2
Punkte und Punkte liegen auf der Geraden mit der Gleichung
(). Sie sind für zusammen mit dem Punkt und Punkten Eckpunkte von Trapezen .
Es gilt: [] [].
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Im Koordinatensystem sind die Gerade und das Trapez für bereits eingezeichnet.
Zeichnen Sie das Trapez für ein. (1 P)
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Im Trapez gilt: .
Berechnen Sie den zugehörigen Wert von . (3 P)
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Berechnung :
Wenn in ein rechter Winkel sein soll, so steht auch eine Gerade (auf der liegt) auf senkrecht:
Aufstellen der Geradengleichung :
Um die Steigung von zu erhalten, nimmt man den negativen Kehrwert der Steigung von :
Der y-Achsenabschnitt ist da ist.
Schneidet man mit (gleichsetzen der beiden Geraden), so erhält man den Punkt :
einsetzen in (oder ):
Damit ist die Aufgabe gelöst:
Als Zusatz werden nun die Koordinaten von und ohne Verwendung von Matrizen berechnet.
Berechnung :
Überlegung:
Das ist aufgrund der Bedingung gleichschenklig.
Die Seite lässt sich mit dem Pythagoras berechnen. Sie ist genauso lang wie die Seite .
Wiederum lässt sich damit über den Pythagoras der Punkt berechnen.
Gleichschenkligkeit:
|:
| durch die Geradengleichung von ersetzen, da auf liegen muss.
|Anwendung Binome
|in den folgenden Zeilen wird vereinfacht.
|
|Lösung der quadratischen Gleichung
Anhand des Graphen kann man sehen, dass nur infrage kommen kann, da dieser Wert größer als der -Wert von sein muss.
in g einsetzen:
Berechnung :
Zunächst einmal wird der Punkt berechnet. Anschließend wird in die Gleichung eingesetzt. Erklärung: Da kann die gleiche Steigung verwendet werden. Dadurch erhält man die Funktion, auf der auch liegt.
Setzt man nun mittels des Pythagoras die Länge von in die obere lineare Funktion ein, so erhält man den Punkt .
Berechnung :
Es gilt: (
|eingesetzt in
in eingesetzt:
Aus der Gleichschenkligkeit von
Es gilt:
|Anwendung 2. Binom
Anhand des Graphen kann man sehen, dass nur infrage kommen kann, da dieser Wert größer als der Wert von sein muss.
in einsetzen
Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Koordinaten der Punkte in Abhängigkeit von gilt: . (3 P)
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Drehe den Vektor mithilfe einer Matrix um um den Ursprung und multipliziere dann mit , weil die Strecke halb so lang wie ist.
Die Matrix einer Drehung um wird hier schon angegeben:
Du erhältst damit
Berechnen Sie die Gleichung des Trägergraphen der Punkte und zeichnen Sie diesen in das Koordinatensystem zu 2a) ein. (3 P)
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Es ist .
und
Löse nach auf und setze in ein:
Umformung: -1,41
Löse nach auf.
Umformung: :0,18
Vertausche die Seiten.
Setze in ein:
Setze ein.
Fasse zusammen.
Also ist die Gleichung des Trägergraphen
Einzeichnen des Trägergraphens:
