Betrachtet wird die in definierte Funktion . Ihr Graph wird mit bezeichnet.
Zeigen Sie, dass streng monoton zunehmend ist und die Wertemenge besitzt. (5P)
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Zeige, dass streng monoton zunehmend
Berechne mit der Quotientenregel:
Löse die Klammer auf und fasse zusammen.
und
ist streng monoton zunehmend.
besitzt die Wertemenge
Es gilt: und
Geben Sie an und zeichnen Sie im Bereich unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse und der Tatsache, dass in seinen einzigen Wendepunkt hat, in ein Koordinatensystem ein. (3P)
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Teil 1
- Gib an.
Teil 2
- Erstelle eine Wertetabelle, übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie.
Gib an:
Zeichne im Bereich unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse und der Tatsache, dass in seinen einzigen Wendepunkt hat, in ein Koordinatensystem ein
Erstelle eine Wertetabelle:
Der Graph der Funktion geht aus durch Strecken und Verschieben hervor. Die Wertemenge von ist . Geben Sie einen möglichen Funktionsterm für an. (2P)
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- Bekannt: Die Wertemenge von ist und .
- Die Wertemenge von ist symmetrisch zum Koordinatenursprung.
- Verschiebe um nach unten, welche Wertemenge hat dann die verschobene Funktion?
- Mit welcher Zahl muss noch die verschobene Funktion multipliziert werden, um die geforderte Wertemenge zu erhalten?
Gib einen möglichen Funktionsterm für an
Bekannt: Die Wertemenge von ist und .
Die Wertemenge von ist symmetrisch zum Koordinatenursprung.
Verschiebe um nach unten, also .
Dann ist .
Um auf die gesuchte Wertemenge zu kommen, muss noch mit multipliziert werden:
Ein möglicher Funktionsterm ist
Es wird das Flächenstück zwischen und der x-Achse im Bereich mit betrachtet. Bestimmen Sie den Wert von so, dass die y-Achse dieses Flächenstück halbiert. (6P)
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- Löse die Gleichung .
Bestimme den Wert von so, dass die y-Achse dieses Flächenstück halbiert
Das Flächenstück links der y-Achse reicht von bis und das Flächenstück rechts der y-Achse reicht von bis .
Löse die Gleichung .
Gesucht ist eine Stammfunktion :
Der Ausdruck hat die Form , wobei und ist. Anwenden der Logarithmus-Regel: Eine Stammfunktion von ist .
Einsetzen und Vereinfachen:
Da immer positiv ist, ist auch immer positiv, sodass der Betrag weggelassen werden kann.
Berechne das Integral auf der linken Gleichungsseite:
Also muss gelten:
Berechne das Integral auf der rechten Gleichungsseite:
Löse die Gleichung nach auf:
Umformung: +\ln 2
Verwende ein Logarithmusgesetz.
Verwende ein Logarithmusgesetz.
Umformung: e^{()}
Beseitige den Logarithmus.
Umformung: -1
Löse nach auf.
Umformung: \ln
Für halbiert die y-Achse dieses Flächenstück.
Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
