Gegeben sind eine Kugel und eine Ebene .
Bestimme den Parameter so, dass die Ebene eine Tangentialebene an die Kugel ist. Gib mögliche Berührpunkte an.
Lösung anzeigen
Bei einer Tangentialebene ist der Abstand des Kugelmittelpunktes von der Ebene gleich dem Kugelradius . Erstelle eine Hessesche Normalenform der Ebene und berechne den Abstand . Die Berührpunkte kannst du über eine Vektorgleichung ermitteln:
Dabei ist und ist der Normaleneinheitsvektor der Ebene .
Parameterberechnung
Wenn die Ebene eine Tangentialebene an die Kugel sein soll, dann muss der Abstand des Mittelpunktes von der Ebene gleich dem Kugelradius sein.
Lies aus der gegebenen Kugelgleichung die Koordinaten des Mittelpunktes und den Radius ab:
;
Erstelle eine Hessesche Normalenform der Ebene :
Berechne den Abstand des Mittelpunktes von der Ebene :
Setze
Fall +
Fall -
Antwort: Es gibt zwei parallele Tangentialebenen an die Kugel :
und
Berührpunkte
Aus der nebenstehenden Abbildung kannst du folgende Vektorgleichung entnehmen:
Dabei ist der Normaleneinheitsvektor der Ebene .
Entsprechend gilt:
Antwort: Die beiden Berührpunkte haben die Koordinaten und .
Graphische Darstellung
Die nebenstehende Abbildung ist nicht verlangt worden.
Sie dient nur der Veranschaulichung.
