Gegeben ist eine Kugel .
Die Ebene enthält den Punkt . Gib eine Bedingung an, so dass die Ebene eine Tangentialebene an die Kugel ist.
Die gesuchte Bedingung enthält den Normaleneinheitsvektor der Ebene .
Lösung anzeigen
Das Skalarprodukt zwischen einem Vektor und einem Einheitsvektor ist gleich der Länge der Projektion des Vektors auf den Einheitsvektor . Die Länge dieser Projektion muss gleich dem Kugelradius sein.
Das Skalarprodukt zwischen den Vektoren und ist gleich der Länge der Projektion des Vektors auf den Einheitsvektor .
Die Länge der Projektion ist in diesem Fall gleich dem Radius . Es gilt also:
Lies aus der gegebenen Kugelgleichung die Koordinaten des Mittelpunktes und den Radius ab:
und .
Berechne den Vektor .
Dann folgt für die gesuchte Bedingung:
Antwort: Erfüllt der Normaleneinheitsvektor der Ebene die folgende Bedingung , dann ist die Ebene eine Tangentialebene an die Kugel und enthält den Punkt .