Gegeben sind eine Kugel und eine Ebene :
und
Von einem Punkt aus werden Tangenten an die Kugel gelegt. Alle Berührpunkte mit der Kugel liegen auf einem Kreis, der in der gegebenen Ebene liegt. Berechne die Koordinaten dieses Punktes .
Lösung anzeigen
Um den Punkt zu berechnen, benötigst du den Vektor . Die Länge dieses Vektors kannst du mit dem Kathetensatz berechnen. Dabei ist , und ist der Abstand des Mittelpunktes M von der Ebene . Berechne dann den Vektor .
Für den Punkt gilt folgende Gleichung:
Der Vektor muss berechnet werden.
Im rechtwinkligen Dreieck gilt der Kathetensatz:
, und
Erstelle die Hessesche Normalenform der Ebene und berechne den Abstand des Punktes von .
Abstand des Punktes von :
Der Abstand des Punktes von der Ebene beträgt .
Berechne nun , dabei ist und
Berechne den Vektor , indem du seine Länge mit dem Einheitsvektor multiplizierst.
Richtungswahl für den Einheitsvektor
Der Punkt ist ein beliebiger Punkt der Ebene z.B.
Der Winkel zwischen dem Vektor und muss größer sein, d.h. das Skalarprodukt
muss negativ sein. Der Vektor zeigt dann von in Richtung von .
Berechne nun
Das Skalarprodukt ist negativ, d.h. der Vektor zeigt in die richtige Richtung.
Hinweis: Wäre das Skalarprodukt positiv gewesen, würde man mit dem Vektor weiterrechnen.
Berechne nun den Vektor mit und
Der gesuchte Punkt kann nun berechnet werden:
Antwort: Der Punkt hat die Koordinaten .
Graphische Darstellung
Die nebenstehende Abbildung ist nicht verlangt worden.
Sie dient nur der Veranschaulichung.
