Der Höhensatz und Kathetensatz des Euklid beschreiben Größenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck.
Die Sätze bilden mit dem Satz des Pythagoras die Satzgruppe des Pythagoras.
Höhensatz
Durch die Höhe wird die Hypotenuse in die Abschnitte und geteilt.
Der Höhensatz besagt, dass das Quadrat der Höhe gleich dem Produkt der Abschnitte der Hypotenuse und ist.
Formel:
Herleitung
Ausgehend von einem rechtwinkligen Dreieck, lassen sich folgende Beziehungen durch den Satz des Pythagoras aufstellen:
Die letztere Gleichung entsteht durch Betrachten des großen Dreiecks, welches als Hypotenuse die Seite besitzt. Diese Gleichung kann mit der binomischen Formel in die Form
gebracht werden. Für und können die ersten beiden Gleichungen verwendet werden, um
zu erhalten. Subtrahiert man und von beiden Seiten folgt
und schließlich
Alternative Darstellung
Höhensatz: Beispiel
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit und . Bestimme die Höhe .
Benutze dazu die Formel:
Allgemein | Beispiel |
|---|---|
Setze für und ein. | |
Rechne. | |
Ziehe die Wurzel. | |
Runde (falls verlangt). |
Kathetensatz
Der Kathetensatz besagt, dass jeweils das Quadrat einer Kathete gleich dem Produkt des anliegenden Achsenabschnitts der Hypotenuse und der Hypotenuse selbst ist.
Formel:
Herleitung
Im oben abgebildeten Dreieck gilt mit dem Satz des Pythagoras
bzw.
Die binomische Formel formt die rechte Seite der Gleichung um und es gilt
Im kleineren, linken Dreieck gilt außerdem die Beziehung
wobei die Höhe des Dreiecks bezeichnet. Die linke Seite lässt sich für einsetzen und ergibt die Gleichung
Subtrahiert man von beiden Seiten und verwendet den Höhensatz , folgt die Gleichung
Beide Seiten werden mit subtrahiert. Die rechte Seite wird zuletzt umgeformt.
ausklammern
Die Herleitung für die zweite Formel funktioniert genau gleich. Anstatt der Gleichung wird der Satz des Pythagoras im rechten Dreieck verwendet: und für eingesetzt. Es folgt nach der gleichen Umformung .
Kathetensatz: Beispiel
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit und . Bestimme die Katheten und .
Allgemein | Beispiel |
|---|---|
Berechne die an anliegende Kathete mit der Formel . | |
Setze für und ein. | |
Ziehe die Wurzel. | |
Berechne aus und durch Subtraktion. | |
Setze für und ein und rechne. | |
Berechne die an anliegende Kathete mit der Formel . | |
Setze für und ein. | |
Ziehe die Wurzel. | |
Lösung: | und . |