Zeige, dass die Ebene eine Tangentialebene an die Kugel mit dem Mittelpunkt und dem Radius ist. Berechne auch den Berührpunkt .
Lösung anzeigen
Berechne den Abstand des Kugelmittelpunktes von der Ebene . Stelle dazu die Hessesche Normalenform der Ebene auf. Ist der berechnete Abstand gleich dem Kugelradius , dann ist eine Tangentialebene.
Für die Berechnung des Berührpunktes benötigst du die Gleichung der Lotgeraden durch den Punkt auf die Ebene . Verwende als Aufpunkt den Mittelpunkt und als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene . Schneide die Lotgerade mit der Ebene .
Stelle die Hessesche Normalenform der Ebene auf.
Berechne die Wurzel.
Berechne den Abstand des Mittelpunktes von der Ebene , indem du die Koordinaten von in die Hessesche Normalenform einsetzt.
vereinfache
Berechne den Betrag.
Vereinfache weiter, indem du durch ersetzt.
Kürze den Bruch.
Der Abstand des Mittelpunktes von der Ebene ist . Der Kugelradius ist . Da ist, handelt es sich um eine Tangentialebene.
Berechnung des Berührpunktes:
Stelle die Gleichung der Lotgeraden durch den Mittelpunkt auf die Ebene auf. Verwende als Aufpunkt den Mittelpunkt und als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene .
Berechne den Berührpunkt, indem du die Lotgerade mit der Ebene schneidest:
Setze in ein.
Löse die Klammern auf.
Vereinfache die linke Seite.
Umformung: -2
Löse nach auf.
Umformung: :14
Zur Berechnung des Berührpunktes setzt du in die Gleichung der Lotgeraden ein.
Antwort: Der Berührpunkt hat die Koordinaten .