/mathe/226215/lagebeziehung-zwischen-kugeln-und-geraden

Es wird die Lage einer Geraden bezüglich einer Kugel untersucht.

Dabei treten drei Fälle auf:

• die Gerade schneidet die Kugel in zwei Punkten, d.h. die Gerade ist eine Sekante (linkes Bild)
• die Gerade berührt die Kugel in genau einem Punkt, d.h. die Gerade ist eine Tangente (mittleres Bild)
• die Gerade schneidet die Kugel nicht, d.h. die Gerade ist eine Passante (rechtes Bild)

Allgemeines Vorgehen

Gegeben sind eine Kugel  mit dem Mittelpunkt , dem Radius  und eine Gerade .

; Gerade

Zur Lageüberprüfung wird die Geradengleichung von für den Vektor in die Kugelgleichung eingesetzt.

Du hast eine quadratische Gleichung mit der Unbekannten erhalten. Diese quadratische Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.

Je nach Anzahl der erhaltenen Lösungen tritt einer der oben genannten Fälle ein:

• gibt es zwei Lösungen, dann ist die Gerade eine Sekante
• gibt es genau eine Lösung, dann ist die Gerade eine Tangente
• gibt es keine Lösung, dann ist die Gerade eine Passante

Musterbeispiel

Gegeben ist eine Kugel mit dem Mittelpunkt und dem Radius .

Untersuche die Lage der Geraden bezüglich der Kugel . Gib gegebenenfalls die Koordinaten aller Schnittpunkte an.

Lösung:

Du hast die quadratische Gleichung  mit der Unbekannten erhalten. Diese Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.

Lies dazu die Werte für ,  und  ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:

 , , 

Die quadratische Gleichung hat die Lösungsmenge . Da es zwei Lösungen gibt, schneidet die Gerade  die Kugel  in zwei Punkten. Die Gerade ist eine Sekante.

Schnittpunkte berechnen

Setze die zwei gefundenen Parameter ​ und ​ in die Geradengleichung

ein.

Antwort: Die beiden Schnittpunkte haben die Koordinaten  und .

Graphische Darstellung

Die nebenstehende Abbildung ist nicht verlangt worden.

Sie dient nur der Veranschaulichung.