Der Graph der quadratischen Funktion enthält die Punkte , und .
Bestimmen Sie den Funktionsterm . (7 BE)
[Mögliches Ergebnis: ]
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Hierfür musst du in der Lage sein, ein lineares Gleichungssystem mit drei Variablen und drei Gleichungen aufzulösen.
Durch die angegebenen Punkte kannst du drei Gleichungen aufstellen, indem du jeweils den - und -Wert in die allgemeine Form einer quadratischen Funktion einsetzt:
Vereinfache die einzelnen Gleichungen.
Löse eine der Gleichungen nach einer der Variablen auf. Zum Beispiel Gleichung nach .
Setze den Term für in und ein.
Löse eine weitere Gleichung nach einer Variablen auf. Zum Beispiel Gleichung nach .
Setze das Ergebnis für in Gleichung ein.
Umformung: :3
Setze den Wert für in ein.
Setze die Werte für und in den Ausdruck für ein.
Wenn du diese Werte wieder in die allgemeine Form der quadratischen Gleichung einsetzt, erhältst du
Zeichnen Sie den Graphen im Bereich in das vorhandene Koordinatensystem ein. (2 BE)
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Fertige eine Wertetabelle im Bereich an.
Zum Zeichnen eines Graphen kannst du eine Wertetabelle anfertigen.
Die Graphen und schließen insgesamt zwei endliche Flächenstücke ein. Markieren Sie im vorhandenen Koordinatensystem das weiter links gelegene und berechnen Sie die Maßzahl seines Flächeninhalts. Die ganzzahligen Integrationsgrenzen können der Zeichnung entnommen werden. (6 BE)
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Berechne die Fläche mit dem Integral der Differenz der Funktionen. Die Grenzen der Integration sind genau diejenigen Stellen, an denen sich die Graphen der Funktionen schneiden.
Für die Lösung dieser Teilaufgabe solltest du wissen, wie du den Flächeninhalt zwischen zwei Graphen ausrechnest.
Markierung des linken endlichen Flächenstücks
Das gesuchte Flächenstück ist in Orange markiert.
Berechnung des Flächeninhalts
Den Flächeninhalt zwischen zwei Funktionen berechnet man mithilfe eines Integrals.
Die Grenzen des Integrals dürfen abgelesen werden, es handelt sich um die -Werte der Schnittpunkte der beiden Graphen:
Der linke Schnittpunkt liegt bei , der rechte bei .
Nun kann man in die Formel für die Flächenberechnung zwischen zwei Graphen einsetzen:
Die Reihenfolge von und ist egal, solange man an Betragsstriche denkt. Lässt man diese weg, muss man darauf achten, dass man den unteren Graphen vom oberen abzieht.
Setze die Werte ein.
Vereinfache.
Bilde die Stammfunktion.
Vereinfache
Setze die Grenzen ein.
Berechne den Wert.
Der Flächeninhalt beträgt .