Untersuche, ob der Punkt in der gegebenen Ebene liegt.
und
Lösung anzeigen
Der Punkt liegt genau dann in der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Dazu wird der Ortvektor des Punktes mit der Ebenengleichung gleichgesetzt (du setzt für den Vektor der Ebene den Ortvektor des Punktes ein).
Der Ortvektor des Punktes wird mit der Ebenengleichung gleichgesetzt:
So erhältst du ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Variablen.
Umgeformt ergibt sich:
Um eine Variable zu eliminieren rechnest du z.B.
Setze in Gleichung ein und du erhältst:
setze ein
Umformung: +2\cdot r
Umformung: +2
Umformung: :2
Mit den Werten und werden die Gleichungen und überprüft.
Für Gleichung erhältst du:
setze und ein
Für Gleichung erhältst du:
setze und ein
Damit hat das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung, d.h. der Punkt liegt in der Ebene.
zusätzliche graphische Darstellung
alternative Lösung
Ein Punkt liegt dann in der Ebene , wenn das Skalarprodukt zwischen dem Normalenvektor der Ebene und dem Differenzvektor des Punktes und des Aufpunktes null ergibt.
Den Normalenvektor berechnest du als Kreuzprodukt der Richtungsvektoren und der Ebene (in Parameterform):
Wenn gilt:
, dann liegt in .
Gegeben sind und
Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene .
; und
Prüfe dann, ob ist.
Berechne zuerst den Differenzvektor und dann das Skalarprodukt.
Somit liegt der Punkt in der Ebene
und
Lösung anzeigen
Der Punkt liegt genau dann in der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Dazu wird der Ortvektor des Punktes mit der Ebenengleichung gleichgesetzt (du setzt für den Vektor der Ebene den Ortvektor des Punktes ein).
Der Ortvektor des Punktes wird mit der Ebenengleichung gleichgesetzt:
So erhältst du ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Variablen.
Umgeformt ergibt sich:
Um eine Variable zu eliminieren rechnest du z.B.
Setze in Gleichung ein und du erhältst:
setze ein
Umformung: +2\cdot r
Umformung: -1
Umformung: :2
Mit den Werten und werden die Gleichungen und überprüft.
Für Gleichung erhältst du:
setze und ein
Für Gleichung erhältst du:
setze und ein
falsche Aussage
Der Punkt Q erfüllt nicht alle drei Ebenengleichungen, d.h. der Punkt Q liegt nicht in der Ebene.
zusätzliche graphische Darstellung
und
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Der Punkt liegt genau dann in der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Dazu setzt du für den Vektor der Ebene den Ortvektor des Punktes ein.
Der Ortvektor des Punktes wird in die Ebenengleichung eingesetzt.
Berechne die Differenz der beiden Vektoren in der Klammer:
Berechne das Skalarprodukt:
Der Punkt erfüllt die Ebenengleichung nicht, d.h. er liegt nicht in der Ebene.
zusätzliche graphische Darstellung
und
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Der Punkt liegt genau dann in der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Dazu setzt du für den Vektor der Ebene den Ortvektor des Punktes ein.
Der Ortvektor des Punktes wird in die Ebenengleichung eingesetzt.
Berechne die Differenz der beiden Vektoren in der Klammer:
Berechne das Skalarprodukt:
Der Punkt erfüllt die Ebenengleichung, d.h. er liegt in der Ebene.
zusätzliche graphische Darstellung
und
Lösung anzeigen
Der Punkt liegt genau dann in der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Dazu wird der Ortvektor des Punktes in die Ebenengleichung eingesetzt.
Setze in ein:
Der Punkt erfüllt die Ebenengleichung, d.h. er liegt in der Ebene.
zusätzliche graphische Darstellung
und
Lösung anzeigen
Der Punkt liegt genau dann in der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Dazu wird der Ortvektor des Punktes in die Ebenengleichung eingesetzt.
Setze in ein:
Der Punkt erfüllt die Ebenengleichung nicht, d.h. er liegt nicht in der Ebene.
zusätzliche graphische Darstellung
