Trapeze rotieren um die Achse . Die Winkel haben das Maß mit .
Es gilt: ; ; .
Die Zeichnung zeigt das Trapez für .
Zeichnen Sie das Trapez für in die Zeichnung ein.
(1 Punkt)
Lösung anzeigen
Einzeichnen des Trapezes
Das Trapez mit dem Winkel besitzt dieselben Streckenlängen und wie das Trapez . An diesen Strecken musst du also nichts ändern.
Auch die Winkel und bleiben gleich.
Nur der Winkel muss verändert werden und so der neue Punkt gefunden werden.
Zeichne zunächst den Winkel beim Punkt ein.
Markiere den Schnittpunkt der Strecke mit dem Schenkel des Winkels als deinen Punkt .
Das Trapez ist damit fertig eingezeichnet.
Bestätigen Sie die untere Intervallgrenze für und begründen Sie sodann, dass das Volumen der Rotationskörper gilt: .
(2 Punkte)
Lösung anzeigen
Intervallgrenze von
Die untere Intervallgrenze ist, wie angegeben, bei . Die Begründung ergibt sich, wenn du den Winkel in die Zeichnung einzeichnest.
Wenn der Winkel genau groß ist, wird aus dem Trapez ein Dreieck , da der Punkt auf liegt.
Minimales Volumen
Das Volumen des Rotationskörpers von Trapezen wird immer größer sein, als das Volumen des Rotationskörpers des Dreiecks bei der unteren Intervallgrenze von .
Stelle nun das Volumen des Rotationskörpers vom Dreieck auf. Aus einem Dreieck, das um eine Achse rotiert, wird ein Kegel.
Dieser Rotationskörper dreht sich um die Achse . Damit erhältst du den Radius .
Die Höhe beträgt
Das Volumen des Rotationskörpers des Trapezes ist also größer als .
Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken in Abhängigkeit von gilt:
(2 Punkte)
Lösung anzeigen
Berechnung der Strecke
Betrachte die Strecken im Trapez .
Du kannst die Strecke auf der Strecke abtragen und erhältst so zwei Streckenteile (in der Skizze grün und türkis markiert).
Du kannst nun die türkise Strecke mithilfe des Tangens des Winkels berechnen.
Stelle die Formel für den Tangens auf!
Löse diese Gleichung nach auf!
Die Strecke hat die Länge .