In Urne A befinden sich zwei rote und drei weiße Kugeln. Urne B enthält drei rote und zwei weiße Kugeln. Betrachtet wird folgendes Zufallsexperiment:
Aus Urne A wird eine Kugel zufällig entnommen und in Urne B gelegt; danach wird aus Urne B eine Kugel zufällig entnommen und in Urne A gelegt.
Geben Sie alle Möglichkeiten für den Inhalt der Urne A nach der Durchführung des Zufallsexperiments an. (2 BE)
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Bei dieser Aufgabe kommt es darauf an, systematisch vorzugehen, um keinen Fall zu übersehen.
Beim Griff in Urne A kann man eine rote oder eine weiße Kugel erwischen. Nach dem Transfer in Urne B nimmt man aus Urne B eine Kugel und kann auch dabei wieder eine rote oder eine weiße Kugel erhalten.
Zu jedem der zwei Fälle beim Entnehmen aus A gibt es zwei Fälle des Zurücklegens in A. Das kann z. B. in einem Baumdiagramm dargestellt werden:
Man sieht daran, dass der Urneninhalt in zwei Fällen letztlich unverändert bleibt und in zwei Fällen eine Umwandlung der Farbe erfolgt.
Die Wahrscheinlichkeiten im 2. Teil des Experiments werden in Sechstel gemessen, denn in der Urne B sind ja mittlerweile Kugeln!
Der Inhalt von Urne A kann demnach (also unverändert 2-mal rot, 3-mal weiß), oder sein.
Betrachtet wird das Ereignis „Nach Durchführung des Zufallsexperiments befinden sich wieder drei weiße Kugeln in Urne A.“ Untersuchen Sie, ob das Ereignis eine größere Wahrscheinlichkeit als sein Gegenereignis hat. (3 BE)
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Das Gegenereignis zu wird mit bezeichnet, die ausführliche sprachliche Formulierung lautet: "Nach Durchführung des Zufallsexperiments befinden sich nicht wieder 3 weiße Kugeln in der Urne", oder positiv formuliert:
Nach Durchführung des Zufallsexperiments befinden sich 2 oder 4 weiße Kugeln in der Urne.
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis setzt sich aus zwei Experimentverläufen zusammen, entsprchend zwei Pfaden im Baumdiagramm. Wenn mann weiß, dass entlang eines Pfades die Wahrscheinlichkeiten zu multiplizieren sind (1. Pfadregel) und die Wahrscheinlichkeiten für zwei verschiedene Pfade addiert werden müssen (2. Pfadregel), ergibt sich:
Das Gegenereignis hat somit die Wahrscheinlichkeit .
Das Ereignis hat also die größere Wahrscheinlichkeit als sein Gegenereignis!