In einem abgeschiedenen Dorf verbreitet der Bewohner Maxl zum Zeitpunkt das Gerücht, dass der berühmte Sänger Fritzi Vordergucker seinen Urlaub hier im Ort verbringen möchte.
Die Funktion beschreibt näherungsweise die Anzahl der Dorfbewohner, die nach Tagen von dem Gerücht gehört haben, und ist durch die Funktionsgleichung mit und festgelegt. Bei den Rechnungen kann auf die Verwendung von Einheiten verzichtet werden. Runden Sie Ihre Ergebnisse sinnvoll.
Ermitteln Sie die Parameter und , wenn nach 5 Tagen bereits 120 Dorfbewohner von dem Gerücht erfahren haben und am Anfang nur Maxl Bescheid wusste. (5 BE)
Lösung anzeigen
- Lies die Angaben aus der Aufgabenstellung und stelle darauf basierend Gleichungen auf
- Löse die Gleichungen dann nach den gesuchten Parametern auf
Gleichungen aufstellen
Aus der Aufgabe kann man folgende Gleichungen aufstellen:
Wir wissen, dass und , also gilt:
Gleichungen umformen
Die erste Gleichung kann man schon nach auflösen:
Umformung: \cdot \, 850
Jetzt setzt man in die zweite Gleichung den Wert für ein und löst sie nach auf:
Umformung: \cdot \, (1+849 \cdot e^{5c})
Umformung: - \, 120
Umformung: / \, 101.880
Umformung: ln
Umformung: / \, 5
Berechne und runde
Damit kann man jetzt die Funktion vervollständigen:
Berechnen Sie, nach wie vielen Tagen bereits 500 Bewohner von dem Gerücht gehört haben. (3 BE)
Lösung anzeigen
- Setze die Funktion gleich
- Löse nach auf
Man setzt die Funktion, die man in Teilaufgabe a) berechnet hat, gleich und löst nach auf:
Umformung: \cdot \, (1 + 849 \cdot e^{-0,988 \cdot t})
Umformung: - \ 500
Umformung: / \ 424.500
Umformung: \ln
Umformung: / \ (-0,988)
Berechne und runde
Nach ungefähr Tagen haben Bewohner von dem Gerücht gehört.
Bestimmen Sie und erklären Sie die Bedeutung dieses Grenzwertes im Sachzusammenhang. (2 BE)
Lösung anzeigen
- Überlege, welchen Wert der Funktionsterm annimmt, wenn man für sehr große Zahlen einsetzt
- Erkläre dann, was das Ergebnis über Maxls Dorf aussagt
Bestimmung des Limes
Wenn man für sehr große Zahlen einsetzt, dann wird der Exponent von eine sehr große negative Zahl. strebt dann gegen und der Nenner strebt gegen . Also strebt der gesamt Bruch gegen 850, wenn gegen strebt:
Erklärung des Wertes im Sachzusammenhang
Das Gerücht kann sich nicht auf mehr als Bewohner ausbreiten. Daraus kann man ableiten, dass in dem Dorf insgesamt Leute wohnen.
Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktion .
Bestimmen Sie ferner das Verhalten der 1. Ableitungsfunktion von für und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang. (5 BE)
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- Leite die Funktion ab. Achte dabei darauf, die richtige Ableitungsregel zu verwenden. Schau hier nochmal nach, wenn du dich daran nicht mehr erinnern kannst: Quotientenregel
- Berechne die Extremwerte, indem du die Ableitung gleich setzt
- Finde mithilfe der Ableitung die Bereiche, in denen der Graph steigt bzw. fällt
- Überlege, welchen Wert der Funktionsterm der Ableitung annimmt, wenn man für sehr große Zahlen einsetzt
- erkläre dann, wie das Ergebnis mit Maxls Gerücht zusammenhängt
Ableitung der Funktion bestimmen
Wende die Quotientenregel an
Extremwerte berechnen
Setze die Ableitung gleich null:
Umformung: \cdot \ {(1 + 849 \cdot e^{-0,988 \cdot t})^2}
Umformung: / \ 712\,990,2
Da niemals werden kann, hat die Ableitung keine Nullstelle, das heißt, der Graph von hat keinen Extrempunkt.
Steigung der Funktion bestimmen
Da der Graph von keine Extremstellen hat, ist er entweder streng monoton steigend oder fallend. Um das herauszufinden, schaut man sich die Ableitung an:
Dabei fällt auf das weder der Zähler noch der Nenner einen negativen Wert annehmen können:
- Da , egal für welches t nur positive Werte ergibt und eine positive Zahl ist, ist der Zähler immer positiv
- Da der Term im Nenner quadriert wird, ist der Nenner immer positiv
Der ganze Bruch kann also auch nur positive Werte annehmen.
Die Ableitung ist nie negativ, dass heißt, der Graph der Funktion steigt
streng monoton.
Verhalten der Ableitungsfunktion im Unendlichen bestimmen
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Überblick - Limes-Schreibweise
Wenn gegen strebt, streben beide gegen , sowohl im Nenner als auch im Zähler. Der Zähler als Ganzes strebt somit ebenfalls gegen . Im Nenner strebt das Produkt aus und gegen , was bedeutet, dass der ganze Nenner gegen strebt. Insgesamt strebt also der Zähler gegen und der Nenner gegen . Somit strebt der ganze Bruch gegen .
Erklärung im Sachzusammenhang
Strebt gegen unendlich, strebt die Ableitung also gegen . Im Sachzusammenhang bedeutet das, wenn mehr Zeit vergeht, sinkt die Zahl derer, die von dem Gerücht erfahren, irgendwann auf , weil alle Bewohner schon davon gehört haben.
Zeichnen Sie für den Graphen von in ein geeignetes Koordinatensystem. (4 BE)
Lösung anzeigen
- Erstelle mithilfe der Funktion eine Wertetabelle
- Trage die Werte in ein geeignetes Koordinatensystem ein
- Verbinde die Punkte
Wertetabelle erstellen
Setze verschiedene Werte in die Funktion ein, runde gegebenenfalls und erstelle eine Wertetabelle:
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
Wähle nun ein geeignetes Koordinatensystem, trage die Werte ein und verbinde die Punkte zu einem Graphen:
