Löse die Aufgabe.
Geben Sie einen positiven Wert für den Parameter a an, sodass die in definierte Funtion eine Nullstelle in hat. (1 BE)
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Überlege dir zunächst, um was für eine Funktion es sich bei handelt. Dies ist eine veränderte Sinusfunktion. Die Nullstellen der Sinusfunktionen liegen bei mit .
Denke nun darüber nach, wann die Gleichung eine Lösung besitzt. Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn erfüllt ist, also für .
Für hat die Funktion also eine Nullstelle in .
Anmerkung: Die Lösung ist nicht eindeutig! Die Gleichung ist natürlich lösbar für alle , die die Gleichung erfüllen, also für alle Zahlen, die die Form haben mit .
Ermitteln Sie den Wert des Parameters , sodass die Funktion den maximalen Definitionsbereich besitzt. (2 BE)
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Zuerst musst du dir die Frage stellen, wann eine Wurzel definiert ist. Dies ist der Fall, wenn die Zahl unter der Wurzel (auch Radikand genannt) größer oder gleich Null ist. Die Wurzel ist also definiert für alle , die die Gleichung erfüllen und nicht definiert für alle , die der Gleichung genügen.
Schaue dir nun den gegebenen maximalen Definitionsbereich an. Dieser sagt aus, dass die Funktion für alle reellen Zahlen außer denen des Intervalls definiert ist. Dies bedeutet, dass die Gleichung genau für stimmen soll. Umgeformt ergibt sich . Die kleinste reelle Zahl , die dies für alle erfüllt, ist , da .
Der Wert des Parameters muss also sein.
Erläutern Sie, dass die in definierte Funktion den Wertebereich besitzt. (2 BE)
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Die Funktion ist eine veränderte e-Funktion. Überlege dir deswegen zuerst, welchen Wertebereich die natürliche -Funktion hat. Dieser ist .
In der Funktion steht ein Minuszeichen vor der e-Funktion. Dies bedeutet, dass der Graph der -Funktion an der -Achse gespiegelt ist. Der Wertebereich der Funktion spiegelt sich somit auch an der -Achse und ist .
Gegenüber der Funktion ist die Funktion noch um nach oben verschoben. Alle Werte, die die Funktion annehmen kann, liegen also um höher als diejenigen der Funktion . Der Wertebereich der Funktion ist also .