An einer Messstation wurde über einen Zeitraum von 10 Stunden die Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft ermittelt. Dabei kann die Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft zum Zeitpunkt (in Stunden nach Beginn der Messung) durch die Gleichung beschrieben werden.
Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate der Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft während der ersten beiden Stunden der Messung. (3BE)
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Für die mittlere Änderungsrate benutzt man folgende Formel:
Hier soll die mittlere Änderungsrate, also der Differenzenquotient, während der ersten zwei Stunden berechnet werden, also ist und .
Berechne also und .
Jetzt kannst du in die Formel einsetzen:
Die mittlere Änderungsrate ist damit .
Ermitteln Sie den Zeitpunkt nach Beginn der Messung, zu dem die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft beträgt. (2 BE)
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Mit momentaner Änderungsrate ist die Änderungsrate zu einem Zeitpunkt gemeint. Dem entspricht der Grenzübergang des Steigungsdreiecks (Differenzquotient) in Teilaufg. a) zu Tangenten an einen Punkt. Die Tangentensteigung ergibt sich aus der 1. Ableitung der Funktion.
Ableitung für Physiker
In der Physik gibt es häufig Funktionen, die von der Zeit und vom Ort abhängen. Deswegen verwendet man für die deutliche Unterscheidung für die Ableitung nach dem Ort einen Strich , wie man ihn als erstes für die Ableitung lernt. Für die Ableitung nach der Zeit malt man einen kleinen Punkt über den Buchstaben
Diese kannst du nun mit dem Wert gleichsetzen, weil du herausfinden möchtest, wann, also bei welchem -Wert die Steigung diesem Wert entspricht.
Nach Stunden hat die momentane Änderungsrate den Wert erreicht.