Betrachtet wird der abgebildete Würfel . Die Eckpunkte , , und dieses Würfels besitzen in einem kartesischen Koordinatensystem die folgenden Koordinaten: , , und .
Zeichnen Sie in die Abbildung die Koordinatenachsen ein und bezeichnen Sie diese. Geben Sie den Koordinaten des Punkts an. (2 BE)
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Einzeichnen des Koordinatensystems
Wie du bereits weißt, ist ein Würfel dreidimensional. Somit musst du ein dreidimensionales Koordinatensystem verwenden.
Der Ursprung eines solchen Koordinatensystems hat die Koordinaten . Der angegebene Punkt hat genau diese Koordinaten. Das bedeutet, dass das Koordinatensystem durch diesen Punkt geht.
Du kannst mithilfe von den angegebenen Punkten , und leicht überprüfen, dass diese ins Koordinatensystem passen.
Da die eingezeichneten Punkte Koordinatenbestandteile haben, solltest du die Koordinatenachsen als , und definieren.
Koordinaten des Punktes
Ein Würfel hat gleich lange Seiten, die durch gleich lange Vektoren repräsentiert werden.
Entsprechend der Zeichnung liegt der Punkt direkt unter dem Punkt . Die Seitenlänge dieser Strecke ist also auch . Nun überlegt man sich folgendes:
- liegt direkt unter . Die -Koordinate muss also gleich bleiben.
- Dementsprechend ist auch in der -Achse nicht verschoben.
- ist aufgrund der Seitenlänge um Längeneinheiten (LE) nach unten verschoben.
- nach unten um LE
Der Punkt hat also die Koordinaten .
Der Punkt liegt auf der Kante des Würfels und hat vom Punkt den Abstand . Berechnen Sie die Koordinaten des Punkts . (3 BE)
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Das erste, was dir auffallen sollte ist, dass der Abstand:
Die zweite Information, die dich ab diesem Schritt weiterbringt, ist, dass auf der Kante liegt. Deshalb haben und die gleiche - und -Koordinate.
Mit dieser Erkenntnis kannst du auch die verbliebene dritte Koordinate des Punktes finden.
Rechne die mögliche(n) Lösung(en) für aus.
Der Punkt muss auf der Strecke zwischen und liegen, also muss auch seine -Koordinate zwischen der von und der von liegen. Damit muss die -Koordinate zwischen und liegen.
Die dritte Koordinate für ist entweder oder . Da allerdings nicht in der Menge liegt, bleibt dir nur noch eine Möglichkeit.
Die Koordinaten des Punktes sind also .