Volumenberechnungen mit Integralen
In der Schule lernst du das Berechnen von Flächen mittels Integralen kennen. Das Gleiche funktioniert aber auch eine Dimension höher. In Abbildung 1 siehst du einen Quader in einem dreidimensionalen Koordinatensystem. Es gilt für die Koordinaten:
.
Berechne das Volumen des Quaders mit der Volumenformel.
Betrachte nun in Abbildung 2 die Vorderseite des Quaders. Die Seite ist der Graph der auf definierten Funktion .
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Die Volumenformel lautet "Länge mal Breite mal Höhe". Hier
Bestimme die Fläche der Quadervorderseite durch integrieren.
Nun wird das Bild "gedreht". In Abbildung 3 siehst du eine seitliche Ansicht des Quaders.
Die Vorstellung bei der Integration ist das schrittweise Ausfüllen der Fläche unter einem Graphen mit Strichen / Balken. Das Gleiche machst du jetzt mit der in die Zeichnung hineingehenden Fläche , um den Quader "auszufüllen".
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Bestimme das Volumen des Quaders durch Integration mit dem Integranden .
Ausgehend vom Anfang ist die Volumenformel damit ein doppeltes Integral.
Die Volumenformel für einen Zylinder mit Höhe und Grundflächenradius lautet .
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Erkläre, warum diese Formel richtig ist. (Hinweis: Überlege dir, wie der Zylinder nach und nach durch Strecken, Kreise, Flächen o. ä. ausgefüllt wird)
Betrachte jetzt die Volumenformel
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Schritt 1: Der innere Teil ist die Formel für den Umfang eines Kreises mit Radius . Bei der Integration über den Radius zeichnest du dann anschaulich für alle Radien einen Kreis. Mit diesen Kreisen füllst du nach und nach die komplette Fläche des Kreises mit Radius aus. Das innere Integral gibt dir damit den Flächeninhalt der Zylindergrundfläche.
Schritt 2: Die erhaltene Kreisfläche legst du dann so oft übereinander, bis der ganze Zylinder ausgefüllt ist. Das entspricht dem Integral von bis über die Kreisfläche. Du erhältst das Zylindervolumen.
Das Volumen welchen Körpers wird mit dieser Formel berechnet?
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Die Formel berechnet das Volumen einer Kugel.
Bemerkung: Sich das Ausfüllen der Kugel vorzustellen ist schwieriger, da nicht die normale Kugel ausgefüllt wird, sondern eine zwei Halbkugeln, die sich an im Ursprung an den Polen berühren und dann nach oben bzw. unten offen sind.
Zeige, dass die richtigen Ergebnisse liefert, indem du für und berechnest und mit dem Ergebnis der Volumenformel aus der Geometrie vergleichst.
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