Um Geld für die Ausstattung des Spielbereichs in der Kinderstation des Krankenhauses einzunehmen, wird ein Gewinnspiel angeboten. Nachdem der Spieler zwei Euro bezahlt hat, werden aus einem Behälter, in dem sich drei rote, drei grüne und drei blaue Kugeln befinden, drei Kugeln ohne Zurücklegen zufällig entnommen. Haben die drei entnommenen Kugeln die gleiche Farbe, so gewinnt der Spieler und bekommt einen bestimmten Geldbetrag ausgezahlt; ansonsten verliert er und erhält keine Auszahlung. Anschließend werden die gezogenen Kugeln in den Behälter zurückgelegt.
Zeigen Sie, dass bei einem Spiel die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn beträgt.
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Es handelt sich um ein Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge (da nur die Farbe der Kugeln entscheidend ist). Insgesamt befinden sich in der Urne 9 Kugeln, wobei 3 gezogen werden und der Gewinnfall eintritt, falls alle 3 Kugeln die gleiche Farbe haben. Berechne die Wahrscheinlichkeit durch Teilen der günstigen Fälle durch alle Fälle (Laplace-Wahrscheinlichkeit).
Berechnen Sie, welcher Geldbetrag im Fall eines Gewinns ausgezahlt werden muss, damit im Mittel eine Einnahme von pro Spiel für die Ausstattung des Spielbereichs erwartet werden kann.
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Aus Teilaufgabe a) ist bekannt, dass der Spieler mit einer Wahrscheinlichkeit von gewinnt, d.h. er verliert mit Wahrscheinlichkeit . Falls er verliert, gewinnt das Krankenhaus 2€ (den Einsatz des Spielers) für die Ausstattung des Spielbereichs. Falls er gewinnt, muss das Krankenhaus einen Betrag (den Gewinn) an den Spieler zahlen, bezeichne diesen Betrag mit . Stelle nun die Gleichung für den Erwartungswert (EW) auf.
Setze den Erwartungswert gleich 1,25.
Umformung: +G\cdot\frac{1}{28}-1,25
Schreibe 1,25 als Bruch ().
Erweitere den Bruch .
Umformung: \cdot28
Im Falle eines Gewinns müssen also ausbezahlt werden, um im Mittel für die Ausstattung des Spielbereichs zu erhalten.