Aus einer rechteckigen Blechtafel der Länge und der Breite soll eine Dachrinne (Länge ) hergestellt werden, die maximales Wasservolumen aufnehmen kann.
Die Blechtafel wird V-förmig gebogen.
Welcher "Knickwinkel" ist zu wählen? Welches maximale Wasservolumen ergibt sich?
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Da die rechteckige Blechtafel V-förmig geknickt wird, entsteht aus dem ebenen Rechteck ein gerades dreiseitiges Prisma mit der Höhe .
Für das Volumen der geknickten Dachrinne gilt somit:
Und da der Buchstabe V achsensymmmetrisch ist, ist die Grundfläche des Prismas ein gleichschenkliges Dreieck mit der vorgegebenen Schenkellänge , dessen Flächeninhalt A vom Knickwinkel abhängt.
ist ein Winkel zwischen und .
Die Abhängigkeit der Dreiecksfläche von kannst du an dem gegebenen Applet für nachvollziehen.
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
Wegen des fest vorgegebenen Wertes für die Höhe des Prismas ist sein Volumen dann am größten, wenn die Dreiecksfläche maximal ist.
Als Zielfunktion für die Extremwertaufgabe, das größtmögliche Dachrinnenvolumen zu ermitteln, verwendest du im weiteren deshalb die von abhängige Dreiecksfläche.
Das Applet macht deutlich, dass sowohl die Grundlinie wie auch die Höhe des Dreiecks vom Knickwinkel abhängen und mit diesem variieren.
Für die Dreiecksfläche der Grundfläche des Prismas gilt:
Also ergibt sich die
Zielfunktion
mit und
Das gleichschenklige Dreieck enthält das rechtwinklige Teildreieck mit der gegebenen Hypotenusenlänge und dem variierenden Winkel .
Mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen und kannst du nun die Dreiecksfläche als Funktion des Knickwinkels darstellen.
1. Nebenbedingung
2. Nebenbedingung
Löse die 1. Nebenbedingung nach und die 2. Nebenbedingung nach auf.
Setze und in ein, um die Dreiecksfläche als Funktion von zu erhalten.
Erinnerung: ist ein konstanter Wert.
Zielfunktion
Fasse zusammen.
Bilde unter Verwendung der Produktregel und der Kettenregel die Ableitung .
Setze gleich Null um zu berechnen, für welchen Knickwinkel die Grundfläche des Dachrinnenprimas maximal sein kann.
Um nachzuweisen, dass für tatsächlich maximal ist, hast du zwei Möglichkeiten.
Möglichkeit 1
Bilde die 2. Ableitung von .
ausklammern
Setze ein:
liefert maximalen Flächeninhalt des Grunddreiecks.
Möglichkeit 2 ohne Benutzung der 2. Ableitung:
Die Funktion hat für die Randpunkte des Definitionsbereichs ( und ) ihr Minimum . Dann liefert das (einzige) lokale Extremum dazwischen ein Maximum.
und
Für das Volumen der v-förmig geknickten Dachrinne galt:
.
Somit ergibt sich für das größtmöglichde Volumen dieser Dachrinne:
.
Also:
Die Blechtafel wird rechteckig gebogen. Wie ist das Blech zu biegen, damit sich ein maximales Wasservolumen ergibt?
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Da die Blechtafel rechtwinklig geknickt wird, entsteht aus dem ebenen Rechteck ein Quader mit der Höhe a und einem Rechteck mit den Seitenlängen und als Grundfläche.
Für das Volumen des Quaders gilt somit:
Da das Volumen des Quaders maximal werden soll, erhältst du folgende
Zielfunktion
mit und und der Konstanten .
Da die Blechtafel achsensymmetrisch zur Seite geknickt wird ergibt sich als
Nebenbedingung
Setze y in ein.
Bilde .
Setze gleich Null und löse nach auf.
Argumentiere, dass sich für ein Maximum ergibt.
Es gilt:
.
ist also eine negative Konstante.
Das Extremum ist also ein Maximum.
Ohne Benutzung der 2. Ableitung kannst du auch so argumentieren:
Der Graph der Funktion ist eine nach unten geöffnete Parabel. Das lokale Extremum deshalb ein Maximum.
in eingesetzt, ergibt das größtmögliche Volumen dieser Dachrinne:
Also:
Die Blechtafel wird halbkreisförmig gebogen. Welches Wasservolumen ergibt sich?
Vergleiche die Ergebnisse der drei Teilaufgaben.
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Diese Teilaufgabe ist keine Extremwertaufgabe. Das halbkreisförmig gebogene Blechrechteck ergibt eine Zylinderhälfte der Höhe . Dessen Volumen ist mit den Ergebnissen der Teilaufgaben a) und b) zu vergleichen.
Der Umfang des (ganzen) Grundkreises ist .
Dann gilt für den Radius :
Die Dachrinne, d.h. der halbe Zylinder, hat dann folgendes Volumen:
.
Damit ergibt sich:
Der Vergleich der drei Teilaufgaben ergibt:
Die beiden maximalen Dachrinnenvolumina der Teilaufgaben a) und b) sind mit gleich und kleiner als das halbkreisförmig gebogene Volumen der Teilaufgabe c) mit . Dieses ist somit um rund größer als das Maximum jeder geknickten Rinne.