Sei die Funktion gegeben. Bestimme die Fläche, die von und ihrer Umkehrfunktion eingeschlossen wird.
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Hier findet man drei Lösungswege dieser Aufgabe: zunächst relativ stur durchgerechnet, dann einfacher unter Ausnutzung von Symmetrien und dann noch einfacher unter Ausnutzung von noch mehr Symmetrien.
Lösung 1
Warum ist f umkehrbar?
Die Funktion ist dort umkehrbar, wo sie streng monoton ist. Überprüfe die Monotonie mit der Ableitung.
für .
Für ist immer größer als null. Deshalb ist zunächst auf der negativen und auf der positiven -Achse streng monoton wachsend. Diese beiden Bereiche stoßen für aneinander, so dass auch insgesamt streng monoton wächst.
Außerdem nimmt beliebig kleine und große Werte an, so dass die Umkehrfunktion auf den ganzen reellen Zahlen definiert ist.
Bestimme jetzt die Umkehrfunktion
Bei der Bestimmung der Umkehrfunktion von wirst du die Umkehrung der dritten Potenz brauchen. Daher gibt es schon mal eine Berechnung dazu.
Die Umkehrfunktion der dritten Potenz
Meist definiert man die dritte Wurzel nur für Zahlen, die größer gleich Null sind. Daher brauchst du jetzt auch eine Umkehrung für -Werte, die kleiner als Null sind.
Wir nehmen also an, dass negativ ist. Dann ist auch negativ.
mache beide Seiten positiv
Umformung: -x^3=(-x)\cdot(-x)\cdot(-x)
Jetzt ist alles positiv und du kannst die dritte Wurzel ziehen
Umformung: \cdot(-1)
Damit hast du die Umkehrfunktion für negative Werte
Damit kennst du die Umkehrung der dritten Potenz: ist , so ist
für und
für .
Berechnung der Umkehrfunktion von
Unterscheide die Fälle und .
Für hast du
Umformung: +1
Umformung: \sqrt[3]{}
Umformung: -1
Für ist entsprechend
Umformung: +1
Umkehren wie oben
Umformung: -1
Flächenberechnung
Bestimme die Schnittpunkte. Weil ist, reicht eine Rechnung ab der dritten Zeile:
Umformung: +1
Umformung: \ ^3
Sei .
Umformung: :\left(x+1\right)
Umformung: \sqrt[8]{}
Umformung: -1
Betrachte den Fall .
Berechne jetzt die Fläche zwischen den Graphen von Schnittpunkt zu Schnittpunkt zunächst für . Für ist .
Im Bereich ist . Wie du sofort durch Ableiten bestätigst, ist eine Stammfunktion zu
Die Gesamtfläche ist also .
In der Skizze erkennt man den Verlauf der Graphen von und .
Lösung 2
Die Graphen von Funktion und Umkehrfunktion gehen durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden auseinander hervor. Daher müssen ihre Schnittpunkte auf der Winkelhalbierenden liegen und können durch den Schnitt des Graphen von mit der Geraden berechnet werden. Da die Graphen von und die Winkelhalbierende als Symmetrieachse besitzen, ist die Fläche zwischen Ihnen genau doppelt so groß wie die Fläche zwischen dem Graphen von und der Winkelhalbierenden.
Berechnung der Schnittpunkte
Ausmultiplizieren
Umformung: -x
Ordnen
x ausklammern
p-q-Formel oder raten
Die Schnittpunkte sind also , und .
Flächenberechnung
Die Berechnung der Fläche wird wieder in zwei Schritten vorgenommen.
wegen der Symmetrie wird das Integral verdoppelt
wie oben
Die Gesamtfläche ist wieder .
Lösung 3
Die Funktion geht aus dadurch hervor, dass der Graph um je eine Einheit in - und -Richtung verschoben wird. Dieselbe Verschiebung ändert die Winkelhalbierende nicht. Daher ist die Fläche genauso groß wie die zwischen dem Graphen von und Ihrer Umkehrfunktion.
Dieselbe Überlegung wie bei Lösung 2 zeigt, dass die Fläche doppelt so groß ist wie die Fläche zwischen dem Graphen von und der Winkelhalbierenden.
ist außerdem punktsymmetrisch zum Ursprung, daher ist die Gesamtfläche viermal so groß wie die Fläche zwischen und im ersten Quadranten.
Die Schnittpunkte sind und
Der Flächeninhalt unter der Winkelhalbierenden ist .
Der Flächeninhalt unter dem Graphen von ist .
Die Fläche dazwischen hat den Inhalt , und weil das ein Viertel der Gesamtfläche ist, ist .