In einer Urne sind eine schwarze und drei weiße Kugeln; in einer anderen zwei schwarze und zwei weiße Kugeln. Ein Münzwurf entscheidet darüber, aus welcher der beiden Urnen eine Kugel gezogen werden muss. Ist die gezogene Kugel schwarz, so erhält man einen Gewinn.
Wie groß ist die Gewinnwahrscheinlichkeit?
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Gewinnwahrscheinlichkeit Urne 1
Inhalt: schwarze Kugel, weiße Kugeln; Schwarze ist Gewinn
Anteil der Schwarzen
Wahrscheinlichkeit Urne 1 zu erhalten.
Multipliziere die beiden Werte.
Gewinnwahrscheinlichkeit Urne 2
Inhalt: schwarze Kugeln, weiße Kugeln; Schwarze ist Gewinn
Anteil der Schwarzen
Wahrscheinlichkeit Urne 2 zu werfen.
Multipliziere die beiden Werte.
Gewinnwahrscheinlichkeit insgesamt
Addiere die Gewinnwahrscheinlichkeiten von Urne 1 und Urne 2.
Bilde den Hauptnenner (hier ).
Nun erhält man die Erlaubnis, die Kugeln vor Spielbeginn so auf die zwei Urnen zu verteilen, dass in jeder Kugeln sind – für die Aufteilung der Farben gibt es dabei keinerlei Einschränkungen. Anschließend entscheidet wieder ein Münzwurf darüber, aus welcher Urne eine Kugel gezogen werden muss. Ist sie schwarz, so gewinnt man. Gibt es unter diesen Bedingungen eine optimale Verteilung der Kugeln auf die Urnen, sodass die Gewinnwahrscheinlichkeit möglichst groß wird? Begründe.
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Insgesamt gibt es schwarze Kugeln und weiße. Sei die Anzahl schwarzer Kugeln in Urne und die Anzahl schwarzer Kugeln in Urne . Dann lässt sich die Gewinnwahrscheinlichkeit wie in Teilaufgabe berechnen:
Die Aufteilung auf die beiden Urnen spielt dabei keine Rolle.
Nun erhält man die Erlaubnis, die Kugeln vor Spielbeginn nach Belieben auf die zwei Urnen zu verteilen. Anschließend entscheidet wieder ein Münzwurf darüber, aus welcher Urne eine Kugel gezogen werden muss. Ist sie schwarz, so gewinnt man. Wie sieht die optimale Verteilung der Kugeln auf die Urnen aus?
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Gegeben: schwarze Kugeln; weiße Kugeln
Überlegung: Die Wahrscheinlichkeit ist am größten, wenn eine schwarze Kugel in der einen Urne (hier Urne 1) ist und alle restlichen Kugeln in der anderen Urne (hier Urne 2) sind.
Gewinnwahrscheinlichkeit Urne 1
Inhalt: schwarze Kugel
Anteil der Schwarzen.
Wahrscheinlichkeit Urne 1 zu werfen.
Multipliziere die beiden Werte.
Gewinnwahrscheinlichkeit insgesamt
Addiere die Gewinnwahrscheinlichkeiten von Urne 1 und Urne 2.
Bilde den Hauptnenner (hier ) und erweitere auf diesen.