Gegeben sind die beiden windschiefen Geraden
und
Berechne ihren Abstand und die Lotfußpunkte auf den beiden Geraden.
Hinweis: Verwende bei der Lösung dieser Aufgabe eine Hilfsebene in Parameterform, die die Gerade enthält. Als zweiten Richtungsvektor von verwendest du den Normalenvektor, der senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren der Geraden steht. Wandle die Ebene in die Normalenform um.
Erstelle die Gleichung einer Lotgeraden , die senkrecht zu ist und in liegt.
Schneide mit und mit .
Lösung anzeigen
1. Berechne zunächst den Normalenvektor: oder
Die Parametergleichung von wird in die Normalenform umgewandelt:
Für den Vektor in der Normalenform setzt du den Aufpunkt der Geraden ein.
2. Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene .
Fasse die beiden Vektoren in den eckigen Klammern zusammen.
Berechne zunächst das Skalarprodukt :
Multipliziere nun die Klammern mit Hilfe des Distributivgesetzes aus:
mit der Lösung .
Lotfußpunkt : Setze in die Geradengleichung ein:
.
Der Lotfußpunkt hat die Koordinaten: .
3. Bestimme die Lotgerade , die senkrecht zu ist und in liegt.
4. Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der Lotgeraden .
Forme die Gleichung um
Du erhältst 3 Gleichungen:
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um eine der Variablen zu eliminieren.
Rechne zum Beispiel:
Aus
5. Berechne den Vektor und dann den Vektor .
Der Lotfußpunkt hat die Koordinaten: .
6. Berechne den Abstand der beiden Geraden als Betrag des Vektors .
Antwort: Die beiden Geraden haben den Abstand . Zusätzlich hast du die beiden Lotfußpunkte auf den beiden Geraden berechnet: und .
Zusätzliche Visualisierung
