Gegeben sind der Punkt und die Ebene
Berechne den Abstand des Punktes P von der Ebene .
Hinweis: Verwende bei der Lösung dieser Aufgabe die Hessesche Normalenform.
Lösung anzeigen
Die gegebene Parameterform der Ebene wird zunächst in die Normalenform umgewandelt. Dazu berechnest du den Normalenvektor als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren der Ebene.
mit Faktor 2 verkürzt gilt:
Alternative Berechnung des Normalenvektors
Der Normalenvektor steht senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren und der Ebene . Damit hat das Skalarprodukt zwischen dem Normalenvektor und einem Richtungsvektor den Wert Null.
und
Diese beiden Gleichungen ergeben folgendes Gleichungssystem:
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel:
in eingesetzt:
Für kannst du den Wert 1 wählen und
Dann lautet der Normalenvektor: .
Anschließend setzt du diesen Normalenvektor und den Aufpunkt aus der Parameterform für in die Normalenform ein.
Aus dieser Normalenform entsteht die Hessesche Normalenform indem du die Ebenengleichung durch den Betrag des Normalenvektors teilt.
.
Um den Abstand des Punktes von der Ebene zu berechnen, setzt du den Vektor für in die Hessesche Normalenform ein:
Antwort: Der Punkt hat somit den Abstand von der Ebene .
Nachteil dieser Methode: Es wird nur der Abstand berechnet. Der Lotfußpunkt kann nicht angegeben werden.
Zusätzliche Visualisierung
Anmerkung: Für die Anzeige des Abstandes des Punktes von der Ebene ist in der Abbildung der Lotfußpunkt eingezeichnet. Er wird aber nicht berechnet.