Ein Hotel verfügt über 105 Betten, die sich in 40 Zwei-bzw.-Dreibettzimmern befinden. Wie viele Zwei-und-Dreibettzimmer kann das Hotel vermieten?
Löse mit einem Gleichungssystem!
Lösung anzeigen
Erstelle aus dem Aufgabentext ein lineares Gleichungssystem.
Tipp: Wähle die Variable für die Anzahl der Zweibettzimmer und die Variable für die Anzahl der Dreibettzimmer.
Gleichungen aus dem Text aufstellen
Was ist bekannt? Die Summe der Anzahl der Zweibettzimmer und der Anzahl der Dreibettzimmer beträgt 40. Diese Aussage liefert dir Gleichung :
In einem Zweibettzimmer stehen zwei Betten. In Zweibettzimmern stehen somit Betten und entsprechend stehen in den Dreibettzimmern Betten. Insgesamt hat das Hotel 105 Betten, so dass du Gleichung aufstellen kannst:
Du hast nun folgendes lineare Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten:
Gleichungssystem lösen
Zur Lösung dieses Gleichungssystems stehen dir drei Lösungsverfahren zur Verfügung:
Lösung mit dem Einsetzungsverfahren
Löse Gleichung nach einer der beiden Variablen auf und setze diese Variable in Gleichung ein. Es spielt keine Rolle, ob du nach oder auflöst.
. Eingesetzt in
Setze in Gleichung ein:
Die Lösungsmenge deines Gleichungssystems lautet also :
Antwort: Das Hotel verfügt über Zweibettzimmer und über Dreibettzimmer.
Lösung mit dem Gleichsetzungsverfahren
Löse beide Gleichungen nach derselben Variablen auf. Du hast beim Einsetzungsverfahren schon Gleichung nach aufgelöst.
. Nun muss Gleichung auch nach aufgelöst werden:
Setze nun die beiden rechten Seiten der Gleichungen und gleich:
Setze in Gleichung ein:
Die Lösungsmenge deines Gleichungssystems lautet also :
Antwort: Das Hotel verfügt über Zweibettzimmer und über Dreibettzimmer.
Lösung mit dem Additionsverfahren
Ziel ist es, dass sich durch Addition der beiden Gleichungen eine der unbekannten Größen aufhebt. In diesem Gleichungssystem kannst du z.B. die Gleichung mit multiplizieren . Durch Addition der beiden Gleichungen und erhältst du schon die Lösung für :
Setze in Gleichung ein:
Die Lösungsmenge deines Gleichungssystems lautet also :
Antwort: Das Hotel verfügt über Zweibettzimmer und über Dreibettzimmer.
Überprüfung (Probe)
Bei der Lösung von Gleichungssystemen bietet sich am Ende der Rechnung eine Probe an. In diesem Fall: In15 Zweibettzimmern stehen 30 Betten und in 25 Dreibettzimmern stehen 75 Betten. Die Summe der Betten ist , wie in dem Aufgabentext angegeben. Die Zimmeranzahl beträgt und stimmt auch mit der Angabe im Aufgabentext überein. Die angegebene Lösungsmenge ist also die Lösung des Gleichungssystems.