2.0 Die Parabel mit dem Scheitelpunkt hat eine Gleichung der Form mit . Die Gerade hat die Gleichung Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
2.1 Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Parabel die Gleichung
hat und zeichnen Sie die Gerade für in das Koordinatensystem zu 2.0 ein
2.2 Punkte auf der Parabel und Punkte
auf der Geraden haben dieselbe Abszisse und sind für Eckpunkte von Rauten . Dabei gilt: . Zeichnen Sie die Raute für in das Koordinatensystem zu 2.0 ein
2.3 Berechnen Sie den Flächeninhalt der Rauten in Abhängigkeit von und begründen Sie sodann, weshalb es unter den Rauten keine Raute mit einem Flächeninhalt von geben kann.
2.4 Unter den Rauten gibt es die Quadrate und .Bestimmen Sie rechnerisch die -Koordinaten der Punkte und .
Lösung anzeigen
Teilaufgabe A 2.1
Die Parabel hat die Gleichung
Stelle zunächst mit Hilfe des Scheitelpunktes S(2/-3) die Scheitelpunktform/2073 auf.
allgemein:
Da die Parabel die Form = haben soll, können wir die fehlenden Variablen einsetzen: und .
binomische Formel
ausmultiplizieren
zusammenfassen
Einzeichnen der Geraden :
Da die lineare Funktion einen y-Achsenabschnitt hat, haben wir den Startpunkt (siehe Zeichnung unten) und eine Steigung
(Wir gehen 10 Einheiten nach rechts und 3 nach unten.)
Teilaufgabe A 2.2
Einzeichnen einer Raute für in das Koordinatensystem:
Einsetzen von in die Koordinaten und .
Damit haben wir die Koordinaten und .
- A und C einzeichnen und verbinden.
- Das Viereck ABCD ist ein Drachenviereck, also sind [] und [] Symmetrieachsen.
- Mittelsenkrechte zu .
- Da wir wissen, dass [] = ist, können wir abmessen.
Teilaufgabe A 2.3
Flächeninhalt der Raute :
allgemein:
Wir kennen die Diagonale . Die Diagonale ermitteln wir, indem wir die y-Koordinate von von abziehen:
Klammer auflösen
zusammenfassen
In die Formel einsetzen:
einsetzen
kürzen
Die Flächenformel ist eine Parabel, gesucht ist der Extrempunkt (Scheitelpunkt):
Scheitelpunkt mit Hilfe der Formel:
In diesem Fall ist nur interessant.
Aus der Gleichung ist zu schließen, dass , und .
(allgemein: )
Teilaufgabe A 2.4
x-Koordinaten der Quadrate und :
Umformung: -4