2.0 Nebenstehende Skizze zeigt das Fünfeck , das aus dem Drachenviereck mit der Symmetrieachse und dem Dreieck besteht. Es gilt: .Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
2.1 Zeichnen Sie das Fünfeck sowie die Strecken und
2.2 Begründen Sie, weshalb und . Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke . [Teilergebnis: ]
2.3 Berechnen Sie die Länge der Strecke und den prozentualen Anteil des Flächeninhalts des Drachenvierecks am Flächeninhalt des Fünfecks . [Teilergebnis: ]
2.4 Auf der Strecke liegen Punkte , für die gilt: mit . Punkte liegen auf dem Kreisbogen mit dem Mittelpunkt . Ferner gilt: . Zeichnen Sie den Kreisbogen und die Strecke für in die Zeichnung zu 2.1 ein
2.5 Der Punkt ist der Schnittpunkt des Kreisbogens mit der Symmetrieachse des Drachenvierecks . Ergänzen Sie die Zeichnung zu 2.1 um das Dreieck und berechnen Sie die Länge der Strecke .
ischenergebnis:
2.6 Die Bogenlänge des Kreisbogens mit dem Mittelpunkt beträgt . Berechnen Sie das Maß des Winkels und den zugehörigen Wert für .
Lösung anzeigen
Teilaufgabe B 2.1
Zeichnung des Fünfecks ABCDE
- Da [AB] parallel zu [ED] ist, kann man eine Parallele i, durch den Punkt D konstruieren. Die Gerade j steht senkrecht auf [AB].
- Punkt E ist der Schnittpunkt der Geraden i und j.
- = 90°
- Winkelhalbierende [AC[ halbiert den Winkel
- Punkt C ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden und der Halbgeraden [DC[.
- Strecke [CB]
Teilaufgabe B 2.2
und [AE] = [ED]:
- Da = 90° und [AB] parallel zu [ED] ist, ist auch .
- Da und ∡ BAD = 45° ist, ist °.
- Innenwinkelsumme im Dreieck ADE:
Das rechtwinklige Dreieck ADE hat zwei gleich große Winkel, es ist damit gleichschenklig.
Länge von [AE] und [ED]:
Umformung: \cdot11cm
Teilaufgabe 2.3
Länge von [BC]:
([AC] ist die Symmetrieachse des Drachenvierecks ABCD)
Umformung: \cdot11cm
Flächeninhalt des Drachenvierecks ABCD:
Das Viereck ABCD besteht aus zwei flächengleichen rechtwinkligen Dreiecken ABC.
Fläche des Fünfecks ABCDE:
Die Fläche des Fünfecks ABCDE, besteht aus dem Viereck ABCD und dem rechtwinkligen Dreieck ADE.
Prozentualer Flächenanteil des Drachenvierecks ABCD am Fünfeck ABCDE:
62,37%
Teilaufgabe B 2.4
Kreisbogen und die Strecke []:
- Kreisbogen b von Punkt A bis Punkt D mit Mittelpunkt E und .
- [[ ist parallel zu [ED]
- ist der Schnittpunkt von b und der Halbgeraden [[
Teilaufgabe 2.5
Das Dreieck :
Länge der Strecke :
Da und , ist auch der Winkel Das heißt, das Dreieck ist rechtwinklig.
Der Winkel :
Das Dreieck ist gleichschenklig, da . Somit sind auch die Winkel .
Innenwinkelsumme im Dreieck :
einsetzen
Umformung: \cdot11cm
Teilaufgabe 2.6
Bogenlänge , Mittelpunkt E:
Bogenlänge allgemein:
Bekannte Werte einsetzen:
Umformung: 360
Umformung: :\ \left(15,56\cdot\pi\right)
Der zugehörige Wert :
Umformung: \cdot7,78\ cm