Die Abbildung 1 zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion f′ einer in definierten ganzrationalen Funktion f. Nur in den Punkten und hat der Graph waagrechte Tangenten.
Begründen Sie, dass genau eine Wendestelle besitzt.
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Die vorgelegte Funktion ist ganzrational. Also ist sie (mindestens) zweimal differenzierbar. Laut Text und Abb.1 hat der Graph der Funktion an den Stellen und waagerechte Tangenten.
Somit gilt:
Da aber der Graph von für monoton steigend ist, gilt für also .
Und für fällt der Graph von . Also gilt für also .
Somit liegt an der Stelle eine Wendestelle.
An der Stelle liegt keine Wendestelle, da hier keine Vorzeichenänderung hat.
Es gibt Tangenten an den Graphen von f, die parallel zur Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten sind. Ermitteln Sie anhand des Graphen der Ableitungsfunktion f′ in der Abbildung 1 Näherungswerte für die x-Koordinaten derjenigen Punkte, in denen der Graph von f jeweils eine solche Tangente hat
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Die Winkelhalbierende des I. und III. Quadranten hat die Steigung .
Wenn der Graph von f Tangenten hat, die parallel zu diesen Winkelhalbierenden sind, so nimmt die Ableitungsfunktion die Werte an.
Zeichnet man in Abb.1 Parallelen zu x-Achse im Abstand 1, so findet man, dass gilt: .