2.0 Punkte liegen auf der Geraden mit der Gleichung . Für sind sie zusammen mit Punkten , und Eckpunkte von Drachenvierecken . Die Punkte A und liegen auf deren Symmetrieachse mit der Gleichung .
Für die Diagonalenschnittpunkte der Drachenvierecke gilt:
.
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
2.1 Zeichnen Sie die Geraden und sowie die Drachenvierecke für und für in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit ; ;
2.2 Zeigen Sie, dass für die Koordinaten der Punkte in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte gilt:
2.3 Bestimmen Sie rechnerisch die Gleichung des Trägergraphen der Punkte .
2.4 Im Drachenviereck liegt der Punkt auf der Winkelhalbierenden des 2. und 4. Quadranten.
Bestimmen Sie rechnerisch die x-Koordinaten der Punkte und
2.5 Für das Drachenviereck gilt: .
Berechnen Sie den zugehörigen Wert für .
2.6 Für das Drachenviereck gilt: .
Begründen Sie, weshalb für den Flächeninhalt des Drachenvierecks gilt:
.
Lösung anzeigen
Teilaufgabe 2.1
Zeichnung der Gerade g, der Symmetrieachse s und der Drachenvierecke und :
Zeichnung der Geraden (lineare Funktion)
allgemein:
- y-Achsenabschnitt (Dies bedeutet, die Gerade schneidet die y-Achse bei .) (rot)
- Steigung (Dies bedeutet, wir gehen von dem y-Achsenabschnitt nach rechts und nach unten.) (blau)
Zeichnung der Symmetrieachse s:
- y-Achsenabschnitt (Dies bedeutet, die Gerade schneidet die y-Achse im Ursprung.) (rot)
- Steigung (Dies bedeutet, wir gehen vom Ursprung nach rechts und nach oben.) (blau)
Zeichnung des Drachenvierecks mit :
- Punkt (rot)
- Die Punkte (x|) mit :
- Wir zeichnen den Punkt ins Koordinatensystem (blau) und verbinden die Eckpunkte A und .
Da die Symmetrieachse des Drachenvierecks ist, können wir an der Symmetrieachse spiegeln und erhalten den Punkt :
- Wir zeichnen zunächst eine Senkrechte durch auf die Symmetrieachse (rot).
- Dann tragen wir mit einem Zirkel oder einem Lineal die Länge auf ab ().
Wir wissen, dass ist:
- Wir halbieren die Strecke , indem wir die Mittelsenkrechte zur Strecke zeichnen (pink). Die Mittelsenkrechte schneidet in .
- Dann tragen wir die Länge mithilfe eines Zirkels auf ab, indem wir einen Kreis zeichnen (blau). Der Kreis schneidet die Symmetrieachse s in Punkt .
- Wir verbinden nun noch die Eckpunkte des Drachenvierecks.
Wir wiederholen das gleiche Vorgehen für das Drachenviereck mit :
Punkt B2
Der Punkt : (x|) mit :
Hinweis:
In der nächsten Teilaufgabe werden die Koordinaten der Punkte in Abhängigkeit von berechnet. Es ist damit auch möglich, die Drachenvierecke einzuzeichnen oder die Zeichnung zu überprüfen.
Teilaufgabe 2.2
Die Koordinaten für mit einer Achsenspiegelung von Punkt an :
Spiegelung an einer Ursprungsgeraden der Abbildung mit der folgenden Formel:
Der Winkel ist der eingeschlossene Winkel () der positiven x-Achse und der Spiegelachse s ().
Wir wissen: Die Steigung der Geraden .
Da , ist in unserem Fall .
Wir setzen ein:
Umformung: \cdot\tan^{-1}
Jetzt können wir den Winkel einsetzen. Für x und y setzen wir die Koordinaten von ein:
In den Taschenrechner eingeben.
Zusammenfassen.
Somit haben wir unsere x- und y-Koordinaten gefunden:
Alternative Rechnung
Wir wissen, dass die Steigungen zweier sich senkrecht schneidender Geraden das Produkt haben (orthogonale Geraden).
Daher hat die Verbindungsstrecke der Punkte und , die die Spiegelungsgerade senkrecht schneidet, die Steigung . Die Geradengleichung ist also
Den Wert von erhalten wir durch das Einsetzen von in die Gleichung:
Umformung: +0,5x_n
Vertausche die Seiten
Damit können wir die Koordinaten des Schnittpunkts mit der Spiegelungsachse berechnen:
Umformung: +0,5x
Umformung: :2,5
Spiegelpunkt von : wir bestimmen die -Koordinate dadurch, dass wir von der -Koordinate von die Differenz der -Koordinaten von und subtrahieren:
Den passenden -Wert erhalten wir, indem wir in die Gleichung der Verbindungsgeraden einsetzen:
Also ist .
Teilaufgabe 2.3
Die Gleichung des Trägergraphen t der Punkte :
: Wir lösen Gleichung nach auf:
Umformung: -2,70
Umformung: \cdot5
Das ist der -Wert des zugehörigen Punktes . Um die -Koordinate von zu bestimmen, setzen wir nun dieses in die Gleichung ein:
x einsetzen
Die Klammer auflösen.
zusammenfassen
Umformung: +7y_{D_n}-x_{D_n}
Nach y auflösen.
Umformung: :7
Damit haben wir den Trägergraphen .
Teilaufgabe 2.4
Die x-Koordinaten der Punkte und :
Die Punkte liegen auf der Winkelhalbierenden (rot).
Da und
oder und , so können wir allgemein sagen, dass jeder x-Wert auf der Winkelhalbierenden, dem negativen y-Wert entspricht.
Die Koordinaten von einsetzen, um den - Wert von zu bestimmen
Umformung: -1,40x
Umformung: -2,70
Umformung: :\left(-1,20\right)
Daraus berechnen wir den -Wert von :
Teilaufgabe 2.5
Der zugehörige Wert für x im Drachenviereck mit :
Wir kennen den Punkt und die Gerade g: .
Der Punkt ist der Schnittpunkt der Geraden mit g:
. Da wir auch den Punkt kennen, können wir die Punkt-Steigungsform anwenden:
Uns fehlt noch die Steigung , dafür können wir einen Trick anwenden:
Wir verschieben die Gerade zum Ursprung (siehe Abbildung rechts).
Die Steigung im rechtwinkligen Dreieck mithilfe der Trigonometrie:
Nun können wir auch die Steigung einsetzen:
Da wir die x-Koordinate von wissen möchten und der Punkt auf beiden Geraden liegt, setzen wir die Gleichungen gleich:
Umformung: +x+1,46
Umformung: :1,54
Teilaufgabe 2.6
Der Flächeninhalt A des Drachenvierecks mit :
Allgemeine Formel (Diagonale ):
- , da das Dreieck rechtwinklig und gleichschenklig ist (siehe Abbildung), können wir folgern, dass ist. Da es sich um ein Drachenviereck handelt, wissen wir ebenso, dass ist. Also ist die Diagonale .
Wir setzen in die Gleichung ein:
