Mehrstufige Zufallsexperimente sind Zufallsexperimente, die aus mehreren Schritten zusammengesetzt sind. Die einzelnen Schritte sind dabei selbst jeweils Zufallsexperimente.
Mehrstufige Zufallsexperimente werden auch als zusammengesetzte Zufallsexperimente bezeichnet.
Bei den einzelnen Teil-Experimenten, aus denen sich das mehrstufige Experiment zusammensetzt, kann es sich um mehrere Wiederholungen des gleichen Experiments handeln, oder um ganz verschiedenartige Experimente.
Beispiele
Beispiel a):
Ein Würfel wird dreimal hintereinander geworfen. Dabei wird jeweils die Augenzahl notiert.
Ein Ergebnis besteht dann nicht nur aus einer, sondern immer aus drei Zahlen; zum Beispiel kann man "(2|5|4)" schreiben für das Ergebnis "2 beim ersten Wurf, 5 beim zweiten Wurf und 4 beim dritten Wurf.
(Dies ist ein mehrstufiges Zufallsexperiment, das aus mehreren Wiederholungen des gleichen Experiments zusammengesetzt ist).
Beispiel b):
Erst wird eine Münze geworfen, danach ein Würfel. Dabei wird jeweils das Ergebnis jedes Teil-Experiments notiert.
Ein Ergebnis des zusammengesetzten Experiments besteht dann auch hier nicht nur aus einer, sondern stets aus zwei Angaben; zum Beispiel kann man (Z|4) schreiben für das Ergebnis "Zahl beim Münzwurf, 4 beim Würfelwurf".
(Dies ist ein mehrstufiges Zufallsexperiment, das aus verschiedenartigen Teilexperimenten besteht).
Ergebnismenge bei mehrstufigen Zufallsexperimenten
Als Ergebnismenge verwendet man bei mehrstufigen Zufallsexperimenten meist eine Menge, die sich aus den Ergebnismengen der einzelnen Teil-Experimente ergibt.
Beispiel
In einem (zweistufigen) Zufallsexperiment wird
- erst aus einer Urne, in der sich rote, blaue und gelbe Kugeln befinden, eine Kugel gezogen,
Mögliche Ergebnismenge für das erste Teil-Experiment "Ziehen aus der Urne": .
- und anschließend eine Münze geworfen.
Mögliche Ergebnismenge für das zweite Teil-Experiment "Werfen einer Münze": .
Als Ergebnismenge des zusammengesetzten Experimentes kann man dann wählen:
Anmerkung
Eine in dieser Art aus und zusammengesetzte Menge bezeichnet man auch als das kartesische Produkt der Mengen und .
In der Mathematik schreibt man dafür auch:
Baumdiagramm als Hilfsmittel
Wenn die vorkommenden Ergebnismengen nicht zu groß sind und das gesamte Experiment nicht aus zu vielen Stufen besteht, ist es oft sinnvoll, sich ein Baumdiagramm zu zeichnen.
Im obigen Beispiel mit der Urne und der Münze könnte das Baumdiagramm so aussehen:
Wenn man das Baumdiagramm zu einem mehrstufigen Zufallsexperiment gezeichnet hat, kann man an den Endpunkten des Baumdiagramms die Elemente der Ergebnismenge ablesen oder ihre Anzahl abzählen.
Übungsbeispiel für das Abzählen
Die folgende Aufgabe zeigt ein Beispiel für ein solches Vorgehen mit dem Baumdiagramm:
Eingebetteter Serlo-Inhalt
Urnenmodell für "Standardfälle"
Wenn das Baumdiagramm so groß, dass man es nicht mehr zeichnen kann, kann man prüfen, ob stattdessen Methoden aus der Kombinatorik anwendbar sind.
Viele mehrstufige Zufallsexperimente lassen sich gut mit dem Urnenmodell darstellen.
Dabei wird das reale Zufallsexperiment modelliert durch das (mehrmalige) Ziehen von Kugeln aus einer Urne.
Beispiel
Betrachtet wird das Zufallsexperiment:
"Ein Laplace-Würfel wird dreimal hintereinander geworfen und dabei jeweils die Augenzahl notiert."
Dieses Experiment könnte man aber - zum Beispiel, wenn man gerade keinen Würfel zur Verfügung hat - auch folgendermaßen umsetzen:
"Aus einer Urne mit 6 Kugeln, die die Nummern von 1 bis 6 tragen, wird dreimal nacheinander eine Kugel gezogen, die Nummer notiert und die Kugel nach dem Zug zurückgelegt."
Dem Experiment "Dreimaliges Werfen eines Würfels" entspricht im Urnenmodell zum Beispiel das Experiment "Dreimaliges Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge aus einer Urne mit 6 Kugeln."
Wahrscheinlichkeitsverteilung bei mehrstufigen Zufallsexperimenten
Wenn man Wahrscheinlichkeiten bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment berechnen will, muss man sich dazu natürlich ebenfalls wieder die einzelnen Teilexperimente ansehen.
Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm ermitteln
Wenn man für das mehrstufige Zufallsexperiment ein Baumdiagramm gezeichnet hat, kann man damit auch die Wahrscheinlichkeiten für das Gesamt-Experiment bestimmen.
Dazu verwendet man die Pfadregeln und berechnet so die gesuchte Wahrscheinlichkeit aus den Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Teilexperimente.
Wahrscheinlichkeiten als Laplace-Wahrscheinlichkeiten
Falls die einzelnen Ergebnisse des zusammengesetzten Zufallsexperimentes alle gleichwahrscheinlich sind, kann man die Wahrscheinlichkeiten des mehrstufigen Zufallsexperiments als Laplace-Wahrscheinlichkeiten ausrechnen.
Die dazu benötigten Mächtigkeiten (der Ergebnismenge bzw. des betreffenden Ereignisses) bestimmte man oft mit Mitteln aus der Kombinatorik.
Quellen Bilder
- "Urne mit einer roten, einer blauen und einer gelben Kugel": Eigene Darstellung
- "Seite "Zahl" von 1-Euro-Münze": OpenClipart-Vectors auf Pixabay (https://pixabay.com/de/vectors/euro-m%C3%BCnze-w%C3%A4hrung-europa-geld-145386/)