3.0 Gegeben sind Dreiecke mit der Seitenlänge . Die Winkel haben das Maß mit . Das Maß der Winkel ist doppelt so groß wie das Maß der Winkel .
3.1 Ergänzen Sie die Zeichnung zum Dreieck für .
3.2 Bestimmen Sie die Länge der Strecken in Abhängigkeit von und vereinfachen Sie mithilfe einer Supplementbeziehung.
3.3 Das Dreieck ist gleichschenklig mit der Basis . Begründen Sie, dass das Dreieck rechtwinklig ist.
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3.1 Skizziere das Dreieck für .
Du sollst ein Dreieck zeichnen, wobei die Strecke lang und der Winkel und der Winkel groß sind. Das folgende Applet zeigt dir, wie du das machen kannst.
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
3.2 Finde eine Formel für .
Um eine Formel für die Länge der Strecke zu finden, schau dir zunächst das Dreieck an, wie du es bisher kennst:
Du kennst die Strecke und sollst den Winkel für die Lösung verwenden. Weil das Dreieck nicht rechtwinklig ist, kommt nur der Sinussatz in Frage.
Der Sinussatz sagt, dass das Verhältnis des Sinus jeden Winkels und der Länge der gegenüberliegenden Strecke gleich ist:
Zwei der Winkel sind mit und gegeben, ergibt sich nach der Winkelsumme im Dreieck von zu
Die Winkel kannst du in deiner Lösung alle verwenden. Der dritte Term interessiert nicht, weil weder gesucht, noch gegeben ist. Du kannst die Formel nach umstellen:
Nun kannst du, wie in der Aufgabenstellung verlangt, eine Supplementbeziehung für den Sinus anwenden:
und erhältst damit
3.3 Zeige, dass das Dreieck, wenn es gleichschenklig ist, auch rechtwinklig ist.
In einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Innenwinkel gleich, nämlich die Winkel zwischen den Schenkeln und der Basis:
In diesem Dreieck bedeutet das dann, dass
gelten muss. Die Formel kannst du umstellen: Addiere zunächst auf beiden Seiten.
und teile dann durch 4:
Nun hast du herausgefunden, dass der Winkel groß sein muss, wenn das Dreieck rechtwinklig ist. Es ist in der Aufgabenstellung gegeben, dass ist, also ist das Dreieck tatsächlich rechtwinklig!