Gegeben ist die Funktion mit .
Bestimme alle Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von .
Lösung anzeigen
- Berechne zuerst die Nullstellen der 1. Ableitung.
- Überprüfe mithilfe der 2. Ableitung, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt.
Zum Ableiten von benötigst du die Produktregel:
Die Ableitung des ersten Faktors ist:
Damit erhältst du für die gesamte Ableitung
Nun berechnest du die Nullstellen von f(x) , also die Lösung der Gleichung von :
Die linke Gleichungsseite ist genau dann gleich , wenn einer der beiden Faktoren des dortigen Produktes gleich ist.
Also oder .
Da die Exponentialfunktion nur positive Werte annimmt, gibt es für keine Lösung. Löse also nun .
Dies kannst du mit der PQ-Formel berechnen:
Um nun herauszufinden, ob es sich bei diesen um Hoch- oder Tiefpunkte handelt, musst du sie in die zweite Ableitung von einsetzen. Dafür berechnest du zuerst mit Hilfe der Produktregel:
Nun setzt du die Nullstellen der 1. Ableitung -4 und 1 in die zweite Ableitung ein.
,
sowie
.
Du siehst nun, dass an der Stelle der Graph von einen Hochpunkt und an der Stelle einen Tiefpunkt hat.
Im Schaubild unten siehst du den Graphen von gezeichnet (keine Sorge, dass war in der Aufgabe nicht verlangt ;-) ). Wie du siehst passen Hoch- und Tiefpunkt zum Graphen.
