1.0 Pia möchte einen Flugdrachen bauen. Dazu erstellt sie nebenstehende Skizze eines Drachenvierecks mit der Symmetrieachse und dem Diagonalenschnittpunkt . Es gilt:
Runden Sie im Folgenden auf Ganze.
1.1 Zeigen Sie rechnerisch, dass für das Maß des Winkels gilt:
1.2 Berechnen Sie die Länge der Diagonale und den Flächeninhalt des Drachenvierecks .
[Ergebnis: ]
1.3 Da es im Baumarkt nur Holzstäbe mit einer Länge von gibt, beschließt Pia, für die Diagonale diese Länge zu verwenden. Die Diagonale bleibt unverändert. Kreuzen Sie an, um wie viel Prozent sich der Flächeninhalt dadurch verringert.
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1.1
Um das Maß des Winkels zu berechnen benötigst du den Kosinussatz. Mit dem Kosinussatz erhältst du die Gleichung:
Wenn du nun auf diese Gleichung die Umkehrfunktion des Kosinus anwendest, erhältst du: .
1.2
In dieser Teilaufgabe benötigst du Wissen über den Sinus und über Drachenvierecke. Im Dreieck ist die Hypotenuse und die Gegenkathete vom Winkel aus gesehen.
Es gilt also:
Die Länge der Strecke ist also . Die Strecke ist doppelt so lang wie , als Ergebnis erhältst du also:
Für den Flächeninhalt des Drachenvierecks gilt:
1.3
Für diese Teilaufgabe benötigst du die Formeln der Prozentrechnung.
Der neue Flächeninhalt ist: . Die Fläche um die sich der Flächeninhalt verringert beträgt also dies ist gleichzeitig der Prozentwert in der Prozentrechnung. Als den Grundwert betrachtest du den alten Flächeninhalt . Den Prozentsatz kannst du jetzt mit der Formel berechnen:
Die Fläche wird also um kleiner.
Alternative: Betrachtung des Verhältnisses
Du kannst auch das Verhältnis der Flächeninhalte betrachten:
Durch Umstellen dieser Gleichung erhältst du: , daran kannst du sehen, dass der neue Flächeninhalt um kleiner ist, als der alte.