2.0 Der Punkt legt zusammen mit den Pfeilen
und Punkten gleichschenklige Dreiecke mit den Basen fest
. Es gilt: .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
2.1 Berechnen Sie die Koordinaten des Pfeils für und zeichnen Sie das zugehörige Dreieck in das Koordinatensystem zu 2.0 ein.
2.2 Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten der Punkte in Abhängigkeit von .
[Ergebnis:
2.3 Für welches Maß von wird die Abszisse der Punkte minimal? Kreuzen Sie an.
2.4 Für gibt es das Dreieck , dessen Punkt auf der -Achse liegt. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes .
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Lösung 2.1
Um die Koordinaten des Pfeils zu berechnen setzt du einfach den Wert für in die Formel ein (achte darauf, dass dein Taschenrechner richtig eingestellt ist):
Nun kannst du den Pfeil in das Koordinatensystem einzeichnen und seine Länge abmessen ( cm). Den Punkt kannst du einzeichnen, indem du dein Geodreieck am Punkt anlegst, am Pfeil einen Winkel abmisst und dann eine Strecke zeichnest, die genau so lang ist wie .
Lösung 2.2
Der Punkt besitzt die selben Koordinaten wie der Pfeil (Ortsvektor).
Vom Ursprung aus kommst du zu , indem du erst den Punkt besuchst und dann daran den Pfeil hängst. Es gilt also: .
Die Koordinaten von kennst du bereits. Der Pfeil entsteht durch Drehung des Pfeils um mit .
Jetzt kannst du noch berechnen:
Damit ist das Endergebnis .
Lösung 2.3
Die Abszisse von ist .
Sie wird kleiner, je größer ist (negativer Faktor vor dem ).
Der größte Wert, der hier für möglich ist, ist (beachte auch die Angabe: ).
Diesen Wert erhältst du für einen Winkel von (das kannst du dir zum Beispiel mithilfe des Einheitskreises erklären).
Die Abszisse ist also für einen Winkel von minimal.
Hier kannst du dir noch die verschiedenen Dreiecke für die verschiedenen Winkel ansehen:
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
Lösung 2.4
Da auf der -Achse liegt, ist die Abszisse von gleich . Es muss also gelten:
Wenn du darauf nun die Umkehrfunktion des Sinus anwendest, erhältst du .
Die Koordinaten von erhältst du, indem du dich vom Punkt aus in Richtung bewegst:
Damit besitzt der Punkt die Koordinaten .