Faktorisieren Sie Zähler und Nenner, kürzen Sie anschließend und ermitteln Sie die Vorzeichenbereiche:
Lösung anzeigen
Betrachte zunächst den Zähler:
Für die Zerlegung in Linearfaktoren löse die Gleichung oder klammere im Zähler aus und wende die binomische Formel an.
Du erhältst
Der Nenner ist
Löse die Gleichung
Dies ist eine quadratische Gleichung, die du z.B. mit der Mitternachtsformel lösen kannst. Lies dazu die Werte von , und ab:
Setze die Werte ein:
Vereinfache
Kürze.
Umformung: \cdot\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}
Beseitige die Wurzel im Nenner.
Umformung: \cdot\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}
Kürze.
Umformung: \cdot\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}
Beseitige die Wurzel im Nenner.
Du hast die beiden Lösungen und erhalten.
Damit kann der Nenner geschrieben werden als:
Die Funktion kann nun faktorisiert dargestellt werden:
Der Term kann gekürzt werden:
Die Funktion hat eine Nullstelle bei und und eine Polstelle bei und .
Vorzeichenbereiche:
Ist dann ist und
Ist dann ist und
Ist , dann ist und
Damit ergeben sich folgende Intervallbereiche für das Vorzeichen der Funktion :
Intervall | |||
|---|---|---|---|
|
|
|
Zur Veranschaulichung der Funktionsverlauf von .
