Löse folgende Ungleichungen
Lösung anzeigen
1. Ersetze das Relationszeichen durch ein Gleichheitszeichen
2. Quadratische Gleichung lösen
Löse die quadratische Gleichung .
Du kannst die Mitternachtsformel oder die pq-Formel verwenden. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.
Lies die Werte für , und ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:
, und
Setze , und ein.
Vereinfache.
Klammere aus und kürze.
Du hast als Lösung erhalten.
und
3. Lege eine Vorzeichentabelle an
Betrachte die linke Seite der Ungleichung als Funktion:
Erstelle eine Vorzeichentabelle für :
Berechnungen für die drei Intervalle
1. Intervall
: Wähle z.B. (die rechte Intervallgrenze ist etwa ).
Setze in ein:
Setze ein.
Berechne die Klammern.
Fasse zusammen.
Im Intervall ist negativ .
2. Intervall
: Wähle z.B. (die linke Intervallgrenze ist etwa und die rechte Intervallgrenze ist etwa ).
Setze in ein:
Setze ein.
Vereinfache.
Im Intervall ist positiv .
3. Intervall
: Wähle z.B. (die linke Intervallgrenze ist etwa ).
Setze in ein:
Setze ein.
Vereinfache.
Im Intervall ist negativ .
Ergebnis: Im mittleren Intervall ist .
In der Ungleichung steht ein "". In diesem Fall gehören auch die beiden Nullstellen zum Lösungsintervall.
4. Angabe der Lösungsmenge
Somit lautet die Lösungsmenge für die Ungleichung:
Zusätzliche graphische Interpretation und Veranschaulichung
Betrachte die linke Seite der Ungleichung als Funktion:
Der Koeffizient von ist negativ, d.h. die Parabel ist nach unten geöffnet und die Parabel hat zwei Nullstellen. Für -Werte, die zwischen den beiden Nullstellen liegen, ist und für die beiden Nullstellen ist . Somit ist die Ungleichung erfüllt, wenn ist. Also ist
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1. Ersetze das Relationszeichen durch ein Gleichheitszeichen
2. Quadratische Gleichung lösen
Löse die quadratische Gleichung . Du kannst die Mitternachtsformel oder die pq-Formel verwenden. Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.
Lies die Werte für und ab und setze sie in die pq-Formel ein:
und
Setze und ein.
Vereinfache.
Erweitere mit .
Fasse zusammen.
Der Radikand ist negativ, d.h. die quadratische Gleichung hat keine Lösung.
Der Graph der Funktion hat keine Nullstellen. Für alle ist .
Es muss nun geprüft werden, ob der Graph komplett oberhalb oder unterhalb der -Achse verläuft. Setze einen beliebigen x-Wert in die Funktionsgleichung ein, z.B. :
Die Funktion verläuft also komplett oberhalb der -Achse.
Es gibt keinen -Wert, der die Ungleichung erfüllt.
Die Lösungsmenge der Ungleichung ist somit die leere Menge:
Zusätzliche graphische Interpretation und Veranschaulichung
Betrachte die linke Seite der Ungleichung als Funktion:
Die zugehörige Parabel hat keine Nullstellen, wie unter 2. gezeigt wurde.
Der Koeffizient von ist positiv, d.h. die Parabel ist nach oben geöffnet.
Die Parabel verläuft also ganz oberhalb der -Achse.
Es gibt somit keinen -Wert, für den die Ungleichung erfüllt wird, d.h. .
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1. Bringe zunächst alle Terme auf eine Seite
Umformung: -28x
Alle Terme auf eine Seite bringen.
Du hast die quadratische Ungleichung erhalten.
2. Ersetze das Relationszeichen durch ein Gleichheitszeichen
3. Quadratische Gleichung lösen
Löse die quadratische Gleichung .
Du kannst die Mitternachtsformel oder die pq-Formel verwenden. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.
Lies die Werte für , und ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:
, und
Setze , und ein.
Vereinfache.
Du hast als Lösung der quadratischen Gleichung die Doppelnullstelle erhalten.
3. Lege eine Vorzeichentabelle an
Betrachte die linke Seite der Ungleichung als Funktion:
Erstelle eine Vorzeichentabelle für :
Berechnungen für die beiden Intervalle
1. Intervall
Setze z.B. in ein:
Setze ein.
Also ist im ersten Intervall das Vorzeichen von positiv .
2. Intervall
Setze z.B. in ein:
Setze ein.
Vereinfache.
Fasse zusammen.
Also ist im zweiten Intervall das Vorzeichen von positiv .
Ergebnis: In beiden Intervallen ist jeweils positiv.
Lediglich für ist .
Für ist also die Ungleichung erfüllt.
4. Angabe der Lösungsmenge
Die Lösungsmenge ist die Vereinigungsmenge der gefundenen Lösungsintervalle.
Somit lautet die Lösungsmenge für die Ungleichung:
Gleichwertig ist auch die folgende Darstellung der Lösungsmenge:
Zusätzliche graphische Interpretation und Veranschaulichung
Betrachte die linke Seite der Ungleichung als Funktion:
Klammere aus.
Wende eine binomische Formel an.
Die Scheitelpunktsform von lautet:
Der Koeffizient von ist positiv, d.h. die Parabel ist nach oben geöffnet. Die Parabel hat nur eine Nullstelle bei . Für alle ist und damit ist
