Berechne die fehlenden Werte in der Tabelle für einen Quader mit Länge , Breite und Höhe .
| Länge a | Breite b | Höhe h | Volumen V | Oberfläche O |
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a) |
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b) |
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c) |
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d) |
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e) |
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f) |
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g) |
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Knobelaufgaben:
| Länge a | Breite b | Höhe h | Volumen V | Oberfläche O |
|---|---|---|---|---|---|
h) |
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i) |
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i) Für einen Quader sollen folgende Angaben gegeben sein: Höhe , Volumen und Oberfläche . Kannst du mit diesen Angaben die Länge und Breite des Quaders bestimmen?
j) Wenn ein Quader ein Volumen hat, kann dann sein Oberflächeninhalt betragen? Begründe deine Antwort.
Lösung anzeigen
In diesen Teilaufgaben soll man die Formeln zur Berechnung des Volumens eines Quaders und des Oberflächeninhalts eines Quaders geeignet umstellen, um die fehlenden Werte in der Tabelle zu berechnen.
Das Volumen eines Quaders berechnet man über
Der Oberflächeninhalt des Quaders kannst du über folgende Formel bestimmen:
Teilaufgabe a)
In dieser Teilaufgabe sollst du das Volumen und die Oberfläche des Quaders berechnen.
Der Quader hat das Volumen . Sein Oberflächeninhalt beträgt .
Teilaufgabe b)
In dieser Teilaufgabe sollst du ebenfalls das Volumen und die Oberfläche des Quaders berechnen.
Der Quader hat das Volumen . Der Oberflächeninhalt beträgt .
Teilaufgabe c)
Hier sollst du nun die Breite des Quaders und seine Oberfläche berechnen.
Du hast hierfür bereits das Volumen , die Länge und die Höhe = des Quaders gegeben.
Schritt 1: Gegebene Größen in die Volumenformel für den Quader einsetzen
Schritt 2: Löse die Formel nach auf
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Der Quader hat also die Breite .
Schritt 3: Nun kannst du auch die Oberfläche berechnen
Der Quader hat den Oberflächeninhalt .
Teilaufgabe d)
Bei dieser Teilaufgabe sollst du sowohl die Länge, als auch das Volumen des Quaders berechnen.
Du hast hierfür die Breite , die Höhe = und die Oberfläche des Quaders gegeben.
Schritt 1: Gegebene Einheiten in die Oberflächen Formel einsetzen
Schritt 2: Löse die Formel nach auf
|m²
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Die Länge des Quaders beträgt .
Schritt 3: Da du die Länge jetzt weißt, kannst du das Volumen berechnen.
Der Quader hat das Volumen .
Teilaufgabe e)
Bei dieser Teilaufgabe sind Breite und Höhe gesucht. Der Rest ist gegeben. Eine Möglichkeit ist, probieren.
Schritt 1: Man sollte das Volumen durch die Länge teilen.
Schritt 2: Aus welchen 2 Zahlen könnte das Produkt sein? Das ist und . Also
Schritt 3: Überprüfe die ausprobierten Zahlen mit der Oberfläche :
Also stimmen und oder und .
Lösungsweg 2 (nur für Fortgeschrittene):
Lösen durch ein Gleichungssystem
(Die Einheiten werden hier zur Vereinfachung weggelassen)
Schritt 1: Stelle das Gleichungssystem auf
Schritt 2: Löse eine der Gleichungen nach einer der Variablen auf
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Schritt 3: Setze die umgeformte Gleichung in die andere ein und nach umformen.
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Mit Mitternachtsformel lösen:
Schritt 4: und in einsetzen
Teilaufgabe f)
In dieser Teilaufgabe wird die Höhe und die Oberfläche des Quaders gesucht. Gegeben ist die Länge , die Breite und das Volumen .
Schritt 1: Alle Zahlen auf die selben Einheiten umrechnen
Schritt 2: Die gegeben Einheiten in die Volumen Formel einsetzen
Schritt 3: Löse die Formel nach auf
Der Quader hat die Höhe .
Schritt 4: Jetzt kannst du die Oberfläche des Quaders berechnen
Der Oberflächeninhalt beträgt .
Teilaufgabe g)
Hier ist jetzt die Länge und das Volumen gesucht. Die Breite .
Die Höhe und die Oberfläche sind bereits gegeben.
Schritt 1: Alle Zahlen auf die selben Einheiten umrechnen
Schritt 2: Alle gegeben Zahlen in die Oberflächen Formel einsetzen
Schritt 3: Die Löse die Oberflächen Formel nach auf
mm²
Die Länge des Quaders liegt bei .
Schritt 4: Das Volumen des Quaders berechnen.
Der Quader hat das Volumen .
Knobelaufgabe h)
Bei dieser Aufgabe soll sowohl das Volumen als auch die Oberfläche des Quaders berechnet werden. Die Besonderheit hierbei ist, dass du keine Zahlen sondern Variablen für die Länge , Breite und Höhe gegeben hast.
Schritt 1: Variablen in die Volumen Formel einsetzen
Schritt 2: Berechnung des Volumens
Das Volumen liegt bei
Schritt 3: Variablen in die Oberflächen Formel einsetzen
Schritt 4: Berechnung der Oberfläche .
Die Oberfläche hat den Flächeninhalt .
Knobelaufgabe i)
In dieser Teilaufgabe sollst du die Länge und die Breite berechnen. Hierfür hast du die Höhe = , das Volumen und den Oberflächeninhalt gegeben.
Schritt 1: Setze die gegebenen Zahlen in die Volumen Formel ein und vereinfache den Term soweit wie möglich
Schritt 2: Setze die gegebenen Zahlen in die Oberflächeninhalt Formel ein und vereinfache den Term soweit wie möglich
Schritt 3: Vergleiche die Formeln miteinander
Setze in die Formel für die Oberfläche ein.
Schritt 4:
.
Da die Maße für Länge und Breite nicht negativ sein können, führt dies zu einem Widerspruch.
Daher gibt es in dieser Teilaufgabe keine Lösung!
Daher gibt es in dieser Teilaufgabe keine Lösung!
Knobelaufgabe i)
Angenommen das Volumen V beträgt , dann heißt das:
Einer der Faktoren , oder muss kleiner als sein, weil sonst gilt. Jedoch ist das Volumen und daher nicht grüßer als .
Also ist entweder , oder kleiner als .
Angenommen :
Die Ungleichung führt uns zu einem Widerspruch und daher kann es keinen Quader mit dem angegebenen Volumen und Oberfläche geben.
Für die Fälle kleiner und kleiner gilt das ebenfalls.
Komplette Lösung
| Länge a | Breite b | Höhe h | Volumen V | Oberfläche O |
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a) |
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b) |
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c) |
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d) |
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e) |
| oder | oder |
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f) |
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g) |
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h) |
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i) Es gibt keine Lösung.
j) Es gibt keine Lösung.