Die Abbildung zeigt den Würfel mit und in einem kartesischen Koordinatensystem. Die Ebene schneidet die Kanten des Würfels unter anderem in den Punkten , , und .
Teilaufgabe a)
(4 BE)
Zeichnen Sie das Viereck in die Abbildung ein und zeigen Sie, dass es sich um ein Trapez handelt, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang sind.
Teilaufgabe b)
(3 BE)
Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene in Normalenform.
(zur Kontrolle: )
Für ist die Gerade : mit gegeben.
Teilaufgabe c)
(3 BE)
Bestimmen Sie den Wert von so, dass die Gerade die Würfelfläche in ihrem Mittelpunkt schneidet.
Für jedes liegt die Gerade in der Ebene mit der Gleichung .
Teilaufgabe d)
(2 BE)
Ein beliebiger Punkt des Raums wird an der Ebene gespiegelt. Geben Sie die Koordinaten des Bildpunkts in Abhängigkeit von , und an.
Teilaufgabe e)
(4 BE)
Spiegelt man die Ebene an , so erhält man die von verschiedene Ebene . Zeigen Sie, dass für einen bestimmten Wert von die Gerade in der Ebene liegt, und begründen Sie, dass diese Gerade die Schnittgerade von und ist.
Teilaufgabe f)
(4 BE)
Die Spitze einer Pyramide mit der Grundfläche liegt auf der Kante . Untersuchen Sie, ob die Höhe dieser Pyramide betragen kann.
Lösung anzeigen
Im Zusammenhang mit einem gegebenen Würfel sind im Raum Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen zu untersuchen. Eine Ebene ist zu spiegeln. Eine Eigenschaft einer Pyramide ist zu untersuchen.
ist ein Würfel.
Gegeben sind die Eckpunkte
und .
Lösung Teilaufgabe a)
(4 BE)
Es ist zu zeigen, dass das Viereck
, , und ein Trapez mit gleich langen Gegenseiten ist.
Beachte, dass die Eckpunkte "gittergenau" eingezeichnet werden!
So argumentierst du am zeitsparendsten:
Die Seiten und sind die parallelen Grundseiten des Vierecks da sie in parallelen Gegenflächen des Würfels liegen und die längere doppelt so lang ist wie die kürzere:
Da gilt
und
.
Damit ist gezeigt, dass das Viereck ein Trapez ist.
Für seine Schenkel und gilt:
Da beide Schenkel die gleichen Vektorkomponenten (nur in verschiedener Reihenfolge) haben, erkennst und begründest du ohne weitere Rechnung, dass beide Schenkel gleich lang sind und das Trapez somit gleichschenklig ist.
Lösung Teilaufgabe b)
(3 BE)
Nachdem in Teilaufgabe a) festgestellt wurde, dass die vier Punkte tatsächlich in einer Ebene liegen, kann deren Normalengleichung aufgestellt werden.
Zum Beispiel über das Kreuzprodukt der Vektoren und .
verwendest du als Normalenvektor zum Aufstellen der Normalengleichung.
Es gilt:
Ausmultipliziert ergibt dies:
Lösung Teilaufgabe c)
(3 BE)
Für einen bestimmten positiven Wert von ist die Gerade mit gegeben, die mit dem Mittelpunkt der rechten Würfelfläche zu schneiden ist.
Für welchen Wert von trifft dies zu?
Mittelpunkt der quadratischen Würfelfläche ist der Schnittpunkt der Diagonalen. Und da sich diese gegenseitig halbieren, genügt es, den Mittelpunkt einer Diagonalen, z.B. von , zu ermitteln.
Der Mittelpunkt einer Strecke errechnet sich als arithmetisches Mittel der Koordinaten der Endpunkte.
Somit erhältst du:
Also ist .
Jetzt setzt du als Punkt in die Geradengleichung für ein und löst die Gleichung nach auf.
:
Ergebnis:
Für schneidet die Gerade die Würfelfläche in ihrem Mittelpunkt.
Vertiefung und Veranschaulichung
Betrachtet man nicht nur einen Wert des Parameters , sondern alle der unendlich vielen möglichen positiven Werte, so spricht man von der Geraden-schar
.
Alle Geraden der Schar haben denselben Aufpunkt und einen Richtungsvektor , der parallel zur hinteren Würfelfläche ist.
Alle Geraden der Schar liegen somit in der "Mittelebene" des Würfels mit der Gleichung .
Die nachfolgende Zeichnung verdeutlicht die Aufgabensituation.
Die Zeichnung macht auch deutlich, warum es überhaupt eine Schargerade gibt (die für ), auf der der Mittelpunkt der rechten Würfelfläche liegt und warum das überbestimmte Gleichungssystem der Teilaufgabe c (drei Gleichungen mit zwei Unbekannten!) eine Lösung hat.
Lösung Teilaufgabe d)
(2 BE)
Spiegelst du einen Punkt an der Ebene , dann ist der Schnittpunkt der Strecke mit der Mittelpunkt von .
Dabei gilt:
und
.
berechnest du aus dem Ansatz für das arithmetische Mittel aus folgender Skizze:
Es gilt:
Ergebnis:
Die Koordinaten eines Bildpunktes in Abhängigkeit des Punktes sind:
.
Lösung Teilaufgabe e)
(4 BE)
Es ist
.
Bedingungen dafür, dass eine Gerade in der Ebene liegt sind:
Der Aufpunkt liegt in und der Richtungsvektor von ist senkrecht zum Normalenvektor von .
Setze in die Gleichung von ein:
Setze nun das Skalarprodukt des Richtungsvektors von und dem Normalenvektor von gleich null:
Ergebnis:
Für liegt die Gerade in der Ebene .
Wie bereits in Teilaufgabe c) gezeigt, ist eine Gerade aus der Ebene .
Und da an gespiegelt wird, ist Fixgerade der Spiegelung und damit auch Gerade von , also Schnittgerade von und .
Die folgende Zeichnung veranschaulicht die Zusammenhänge.
Alternative Begründung der Schnitteigenschaft von
Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe d) erhältst du leicht die Normalengleichung von .
Aus
wird durch die Spiegelung
und somit
.
Da zum Beispiel die beiden Punkte aus für und , und , die Gleichung von erfüllen, gilt .
Alternative Bestimmung der Geraden
Du kannst die Vektorkomponenten der Vektorgleichung von direkt in die Normalengleichung von einsetzen und zeigen, dass die entstehende Gleichung nur für erfüllt wird.
Du erhältst die Gleichung
Somit:
Lösung Teilaufgabe f)
(4 BE)
Die Grundfläche der Pyramide liegt in der Ebene Die Spitze liegt auf der Strecke .
Die Höhe einer Pyramide ist der Abstand der Spitze von der Grundfläche.
Dieser Abstand kann mit der Hesse Normalenform der Ebenengleichung der Grundfläche berechnet werden.
Es ist:
Mit und stellst du die Vektorgleichung der Strecke auf.
Eine mögliche Spitze der Pyramide hat dann die Koordinaten .
Für deren Abstand von der Ebene - und damit für die Höhe der Pyramide gilt:
Die kleinste Pyramidenhöhe für einen Punkt auf der Strecke ergibt sich für mit
Für jeden anderen Punkt auf ist die Pyramidenhöhe noch größer.
Ergebnis:
Für keinen Punkt auf der Kante kann die Höhe der Pyramide betragen.