Gegeben sind die beiden Kugeln mit Mittelpunkt und Radius 5 sowie mit Mittelpunkt und Radius 5.
a)
(2 BE)
Zeigen Sie, dass sich und schneiden.
b)
(3 BE)
Die Schnittfigur von und ist ein Kreis. Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts und den Radius dieses Kreises.
Lösung anzeigen
Die Aufgabe verlangt Verständnis für den Umgang mit Kugelgleichungen.
Lösung Teilaufgabe a)
(2 BE)
Kugel : Mittelpunkt und Radius .
Kugel : Mittelpunkt und Radius .
Die beiden Kugeln schneiden sich, wenn der Abstand der Mittelpunkte kleiner ist als die Summe der beiden Radien.
Beachte: Beide Kugeln haben gleichen Radius. Also kann nicht eine Kugel im Inneren der anderen liegen.
Dies musst du zeigen:
Die beiden Kugeln und schneiden sich.
Lösung Teilaufgabe b)
(3 BE)
Berechnung des Mittelpunktes des Schnittkreises
Da beide Kugeln gleichen Radius haben, ist der Mittelpunkt des Schnittkreises der Mittelpunkt der Strecke .
Somit erhältst du:
Also:
Ergebnis:
ist der Mittelpunkt des Schnittkreises.
Ein Querschnitt des Schnitts der beiden Kugeln ergibt folgende Zeichnung:
So berechnest du den Radius des Schnittkreises:
ist Kathetenlänge im rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenusenlänge und der zweiten Kathetenlänge .
Der Satz des Pythagoras ergibt:
Umformung: -3^2
Umformung: \sqrt{}
Ergebnis:
Der Radius des Schnittkreises ist .