Gegeben ist ein Rechteck ABCD mit den Eckpunkten A(5|-4|-3), B(5|4|3), C(0|4|3) und D.
a)
(3 BE)
Ermitteln Sie die Koordinaten von D und geben Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M der Strecke [AC] an.
b)
(2 BE)
Begründen Sie, dass die Dreiecke BCM und ABM den gleichen Flächeninhalt besitzen, ohne diesen zu berechnen.
Lösung anzeigen
In einem räumlichen Koordinatensystem sind Berechnungen und Überlegungen für ein Rechteck durchzuführen.
Lösung Teilaufgabe a)
(3 BE)
Gegeben sind die drei Eckpunkte , und eines Rechtecks . Die Koordinaten des vierten Eckpunkts und des Mittelpunktes der Diagonalen sind zu berechnen.
Was du als gegeben betrachten darfst:
Der Innenwinkel beim Eckpunkt
beträgt . (Sonst würde kein Rechteck ergeben können!)
Da Gegenseiten im Rechteck parallel und gleich lang sind, erhältst du den Eckpunkt so:
ist der gesuchte vierte Eckpunkt des Vierecks.
Die Koordinaten des Mittelpunkts einer Strecke sind das arithmetische Mittel der Koordinaten der Endpunkte der Strecke.
Also gilt für den gesuchten Mittelpunkt der Strecke :
und
und
ist der gesuchte Mittelpunkt der Strecke .
Mittelpunkt einer Strecke als Teilungspunkt der Strecke
Ist eine Strecke durch die Gleichung
mit gegeben, so erhältst du den Mittelpunkt als besonderen Teilungspunkt der Strecke für .
Hier:
ergibt .
Lösung Teilaufgabe b)
(2 BE)
Für eine Dreiecksfläche gilt:
Beide Dreiecke haben eine gleich lange Grundlinie
und die gleiche dazugehörige Höhe, den Abstand des Punktes von der Grundlinie.
Somit haben die Dreiecke und den gleichen Flächeninhalt.
