Begründen oder widerlegen Sie folgende Aussage: Ist der Graph einer ganzrationalen Funktion symmetrisch zur y-Achse, dann ist der Graph der ersten Ableitungsfunktion punktsymmetrisch zum Ursprung.
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Zur Erinnerung: Eine ganzrationale Funktion (auch: Polynomfunktion) ist von der Form:
Begründung der Aussage
Die Aussage ist wahr. Eine mögliche Begründung hierfür funktioniert wie folgt:
Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch zur -Achse, wenn alle vorkommenden Exponenten gerade sind. Wenn du das noch nicht wusstest, dann hilft dir der Artikel zur Symmetrie von Graphen. Es gilt also:
Beim Ableiten einer ganzrationalen Funktion verringert sich jeder Exponent um und der Term fällt weg. Wenn du das noch nicht wusstest, hilft dir der Artikel zum Ableiten von Potenzfunktionen. Daraus folgt:
(Denn eine gerade Zahl minus eine ungerade Zahl ist wieder eine ungerade Zahl. Und die ist ungerade).
Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn alle vorkommenden Exponenten ungerade sind. Wenn du das noch nicht wusstest, hilft dir ebenfalls der Artikel zur Symmetrie von Graphen. Also gilt folgendes:
Also gilt: Ist achsensymmetrisch zur -Achse, so ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Das war zu zeigen.